Singularita (matematika)

Matematický pojem

Singularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — například není diferencovatelný. Například funkce má na množině reálných čísel singularitu v bodě , kde diverguje k nekonečnu a není zde definovaná, a funkce má také na množině reálných čísel singularitu v bodě , protože zde nemá derivaci. Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární.

Izolované singularityEditovat

V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu. Významnou roli mají především singularity izolované, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Formálněji řečeno, má-li funkce   v bodě   singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu  , na němž je   holomorfní, pak se bod   nazývá izolovaná singularita.

Podle limitního chování funkce   v singularitě se izolované singularity se dělí na odstranitelné, podstatné a póly.

Odstranitelná singularitaEditovat

Má-li funkce   v bodě   singularitu a existuje-li limita  , potom je tato singularita odstranitelná. Přitom platí:

  • dodefinujeme-li   v bodě   uvedenou limitou, je tato funkce v bodě   holomorfní;
  • existuje kolem bodu   Taylorova řada pro   stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.

Podstatná singularitaEditovat

Má-li funkce   v bodě   singularitu a limita   neexistuje, potom má   v bodě   podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem   nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce   v bodě  .

Pól n-tého řáduEditovat

Má-li funkce   v bodě   singularitu a existuje-li limita  , pak platí, že existuje (přirozené) číslo   takové, že  . Potom   má v   pól  -tého řádu. Pól  -tého řádu znamená, že funkce   se v okolí   chová podobně jako nějaký nenulový násobek funkce  . Pokud je v   pól, dá se kolem     rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě   členů ve své hlavní části. Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý.

LiteraturaEditovat