Otevřít hlavní menu

Separace proměnných

Separace proměnných (Fourierova metoda) je postup při řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic v matematice založený na převedení nezávislé proměnné na jednu stranu a závislé proměnné na druhou stranu rovnice a následné integraci obou stran rovnice.

Separaci proměnných nelze provést u všech diferenciálních rovnic. Rovnice, u kterých separaci proměnných provést lze, bývají označovány jako separabilní (separovatelné).

Obyčejná diferenciální rovniceEditovat

Předpokládejme, že diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

 

pro   můžeme psát:

 

Pokud h(y) ≠ 0, můžeme rovnici upravit:

 

takže na každé straně rovnice je jenom jedna z proměnných x a y. S dx (a dy) můžeme pracovat jako s jinými prvky ve výrazu, aniž by nás zajímala formální definice dx jako diferenciálu.

Alternativní zápisEditovat

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

 

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle   dostáváme:

 

nebo ekvivalentně,

 

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace   za zlomky, které mohou být rozděleny. To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

 

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem:  .

Příklad (I)Editovat

Obyčejnou diferenciální rovnici

 

můžeme zapsat jako

 

Pokud položíme   a  , můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat   a   za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit  . Vydělením obou stran výrazem   dostáváme

 

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

 

což pomocí částečných zlomků převedeme na

 

a pak

 

kde C je integrační konstanta. Trocha algebra dává řešení pro y:

 

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže.)

Nezapomeňte, že protože jsme dělili   a  , musíme zkontrolovat, zda řešení   a   není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Příklad (II)Editovat

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

 

kde   je populace s ohledem na čas  ,   je rychlost růstu a   je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

 
 

Pro vyhodnocení integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

 

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

 

Čímž dostaneme

 

 

 

 

 

 

 

Nechť  .

 

 

 

 

 

Proto řešení logistické rovnice je

 

Pro nalezení  , položíme   a  . Pak máme

 

Vzhledem k tomu, že  , dostaneme řešení pro A

 

Parciální diferenciální rovniceEditovat

Metoda separace proměnných se používá také pro řešení množství lineárních parciálních diferenciálních rovnic s okrajovou a počáteční podmínkou, jako například rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice.

Homogenní případEditovat

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

 

 

 

 

 

(1)

Hraniční podmínka je homogenní, to jest

 

 

 

 

 

(2)

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

 

 

 

 

 

(3)

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

 

 

 

 

 

(4)

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

 

 

 

 

 

(5)

a

 

 

 

 

 

(6)

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ < 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

 

Z 2 dostaneme

 

 

 

 

 

(7)

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

 

Z 7 odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že

 

a

 

Z 7 dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

 

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar 3.

Obecně suma řešení 1 které vyhovují hraniční podmínce 2 také vyhovuje 1 a 3. Tudíž úplné řešení může být daný jako

 

kde Dn jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

 

můžeme dostat

 

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran   a integrováním na [0,L] dává

 

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde  , byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Nehomogenní případEditovat

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

 

 

 

 

 

(8)

s okrajovou podmínkou stejnou jako 2.

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

(11)

kde hn(t) a bn můžeme vypočítat integrací, zatímco un(t) je třeba určit.

Substitujeme 9 a 10 zpátky na 8 a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

 

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat

 

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion 9 a 10 není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. Viz např. sférické harmonické funkce.

MaticeEditovat

Maticový tvar separace proměnných je Kroneckerova suma.

Jako příklad uvažujme 2D diskrétní Laplacián na regulární mřížce:

 

kde   a   jsou 1D diskrétní Laplaciány ve směru x, resp. y a   jsou identity vhodné velikosti. Podrobnější informace jsou v článku Kroneckerova suma diskrétních Laplaciánů.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Separation of variables na anglické Wikipedii.

  • POLYANIN, D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-299-9. 
  • Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA: [s.n.], 2007. Dostupné online. ISBN 978-0-8176-4393-5. 
  • TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Svazek 140. Providence, RI: American Mathematical Society, 2012. (Graduate Studies in Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

Externí odkazyEditovat

Související článkyEditovat

Podrobnější informace o separaci proměnných: