Otevřít hlavní menu

Integrační faktor

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce (je termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny (teplo). Diferenciál není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto již ano. Veličina je již stavovou funkcí a až na konstantu určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řáduEditovat

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

 

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci   nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

 

znásobení původní rovnice výrazem   dává

 

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle  

 

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

 

Pak obě strany integrujeme vzhledem k  , přičemž nejdříve přejmenujeme   na  , takže dostaneme

 

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

 

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je  , dostáváme

 

kde   je konstanta.

PříkladEditovat

Řešte diferenciální rovnici

 

Vidíme, že v tomto případě  

 
  (všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu – stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)
 

Znásobením obou stran výrazem   dostaneme

 
 
 
 

Obrácením podílového pravidla dostaneme

 

nebo

 

což dává

 

Obecné použitíEditovat

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu

 

lze jako integrační faktor použít  :

 

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

 

odtud

 

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

 

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.

ReferenceEditovat

Související článkyEditovat