Sloupce: l=0 do 4l,m a Yl,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z . Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
=
0
{\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}
(viz sférická soustava souřadnic ).
Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech .
Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru
r
−
1
−
ℓ
cos
(
m
φ
)
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle r^{-1-\ell }\cos(m\varphi )P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}
a
r
−
1
−
ℓ
sin
(
m
φ
)
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle r^{-1-\ell }\sin(m\varphi )P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}
kde
P
ℓ
m
{\displaystyle P_{\ell }^{m}}
přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry
ℓ
≥
0
{\displaystyle \ell \geq 0}
m od 0 do
ℓ
{\displaystyle \ell }
Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry
ℓ
≥
0
{\displaystyle \ell \geq 0}
m od
−
ℓ
{\displaystyle -\ell }
ℓ
{\displaystyle \ell }
U
ℓ
,
m
(
r
,
θ
,
φ
)
=
r
−
1
−
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle U_{\ell ,m}(r,\theta ,\varphi )=r^{-1-\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}
kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l , m , které lze psát jako:
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
=
(
2
ℓ
+
1
)
4
π
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
⋅
e
i
m
φ
⋅
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\cdot e^{im\varphi }\cdot P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}
Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)
∫
θ
=
0
π
∫
φ
=
0
2
π
Y
ℓ
m
Y
ℓ
′
m
′
∗
d
Ω
=
δ
ℓ
ℓ
′
δ
m
m
′
,
d
Ω
=
sin
θ
d
φ
d
θ
{\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\quad \quad \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta }
platí pro ně
Y
ℓ
−
m
(
θ
,
φ
)
=
(
−
1
)
m
Y
ℓ
m
∗
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )=\left(-1\right)^{m}Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )}
a splňují relace úplnosti
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
φ
′
)
=
δ
(
cos
θ
−
cos
θ
′
)
δ
(
φ
−
φ
′
)
,
{\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ',\varphi ')=\delta \left(\cos \theta -\cos \theta '\right)\delta \left(\varphi -\varphi '\right),}
kde δ (x ) je Diracova delta funkce .
Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako
Y
ℓ
0
pro
0
≤
ℓ
≤
∞
{\displaystyle Y_{\ell }^{0}\quad \quad {\mbox{ pro }}\ 0\leq \ell \leq \infty }
a
1
2
(
(
−
1
)
m
Y
ℓ
m
+
Y
ℓ
−
m
)
pro
0
≤
ℓ
≤
∞
,
1
≤
m
≤
ℓ
{\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left((-1)^{m}Y_{\ell }^{m}+Y_{\ell }^{-m}\right)\quad \quad {\mbox{ pro }}\ 0\leq \ell \leq \infty ,\ 1\leq m\leq \ell }
a
1
i
2
(
(
−
1
)
m
Y
ℓ
m
−
Y
ℓ
−
m
)
pro
0
≤
ℓ
≤
∞
,
1
≤
m
≤
ℓ
{\displaystyle {1 \over i{\sqrt {2}}}\left((-1)^{m}Y_{\ell }^{m}-Y_{\ell }^{-m}\right)\quad \quad {\mbox{ pro }}\ 0\leq \ell \leq \infty ,\ 1\leq m\leq \ell }
Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením
cos
θ
=
z
r
,
e
±
n
i
φ
⋅
sin
n
θ
=
(
x
±
i
y
)
n
r
n
,
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle \cos \theta ={z \over r},\qquad e^{\pm ni\varphi }\cdot \sin ^{n}\theta ={(x\pm iy)^{n} \over r^{n}},\qquad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
Prvních několik sférických harmonik
editovat
Zde jsou první sférické harmoniky:
Y
0
0
(
θ
,
φ
)
=
1
2
1
π
{\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}
Y
1
−
1
(
x
)
=
1
2
3
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
=
1
2
3
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
r
{\displaystyle Y_{1}^{-1}(x)={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \quad ={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy) \over r}}
Y
1
0
(
x
)
=
1
2
3
π
⋅
cos
θ
=
1
2
3
π
⋅
z
r
{\displaystyle Y_{1}^{0}(x)={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot \cos \theta \quad ={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot {z \over r}}
Y
1
1
(
x
)
=
−
1
2
3
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
=
−
1
2
3
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
r
{\displaystyle Y_{1}^{1}(x)={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \quad ={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy) \over r}}
Y
2
−
2
(
θ
,
φ
)
=
1
4
15
2
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
{\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta }
Y
2
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
2
15
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
cos
θ
{\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta }
Y
2
0
(
θ
,
φ
)
=
1
4
5
π
⋅
(
3
cos
2
θ
−
1
)
{\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot (3\cos ^{2}\theta -1)}
Y
2
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
2
15
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
cos
θ
{\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta }
Y
2
2
(
θ
,
φ
)
=
1
4
15
2
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
{\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta }
Y
3
0
(
θ
,
φ
)
=
1
4
7
π
⋅
(
5
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
{\displaystyle Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot (5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )}
Související články
editovat
Obrázky, zvuky či videa k tématu sférické harmonické funkce na Wikimedia Commons 