Sférické harmonické funkce

Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.

ÚvodEditovat

 
Sloupce: l=0 do 4
Řádky: m=0 do ±4
Dvě neimaginární sférické harmoniky, které jsou lineární kombinací Yl,m a Yl,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z.

Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:

 

(viz sférická soustava souřadnic).

Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru

 

a

 

kde   jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry   a m od 0 do  .

Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry   a m od   do   lze psát jako lineární kombinaci:

 

kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:

 

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)

 

platí pro ně

 

a splňují relace úplnosti

 

kde δ(x) je Diracova delta funkce.

Y1    
Y2    
Y3    

Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako

 

a

 

a

 

Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením

 .

Prvních několik sférických harmonikEditovat

Zde jsou první sférické harmoniky:

 


 
 
 


 
 
 
 
 


 

Související článkyEditovat

Tabulka sférických harmonických funkcí

Externí odkazyEditovat