Množinová algebra

druh algebraické struktury

Množinová algebra definuje vlastnosti a zákony množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a množinových relací rovnosti a inkluze. Poskytuje také systematické postupy pro vyhodnocování výrazů a provádění výpočtů obsahujících tyto operace a relace.

Jakýkoli systém množin uzavřený vůči množinovým operacím vytváří Booleovu algebru, ve které je sjednocení operací spojení, průnik je operací průseku, množinový doplněk je operací doplňku, nejmenší prvek je prázdná množina a největší prvek je univerzální množina.

ZákladyEditovat

Množinová algebra je množinově teoretická analogie číselné algebry. Množinové sjednocení a průnik jsou asociativní a komutativní stejně jako aritmetické operace sčítání a násobení; množinová relace „je podmnožinou“ je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní stejně jako aritmetická relace „menší nebo rovno“.

Jde o algebru množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a relací rovnosti a inkluze. Základní informace o teorii množin jsou ve článcích množina, teorie množin, naivní teorie množin a axiomatická teorie množin.

Základní zákony množinové algebryEditovat

Množinové binární operace sjednocení ( ) a průnik ( ) vyhovují mnoha identitám. Několik těchto identit nebo „zákonů“ je pojmenovaných.

Zákony komutativity:
  •  
  •  
Zákony asociativity:
  •  
  •  
Zákony distributivity:
  •  
  •  

Sjednocení a průnik množin můžeme považovat za operace analogické sčítání a násobení čísel. Stejně jako sčítání a násobení, operace sjednocení a průnik jsou komutativní a asociativní a průnik je distributivní vůči sjednocení. Na rozdíl od sčítání a násobení je také sjednocení distributivní vůči průniku.

Další dvojice zákonů definuje speciální množiny nazývané prázdná množina Ø a univerzální množina (univerzum)  ; spolu s doplněk operátor (  označuje doplněk  . Tento může také být napsaný jako  , čteme s čarou). Prázdná množina nemá žádné prvky a univerzální množina má všechny možné prvky (v určitém kontextu).

Zákony identity:
  •  
  •  
Zákony doplňku:
  •  
  •  

Zákony identity (spolu s komutativními zákony) říkají že stejně jako čísla 0 a 1 jsou neutrálními prvky pro sčítání a násobení, jsou Ø a U neutrálními prvky pro sjednocení, resp. průnik.

Operace sjednocení a průnik nemají na rozdíl sčítání a násobení inverzní prvky. Zákony doplňku však poskytují základní vlastnosti unární operace, která se chová jako obdoba k množinovému doplňku.

Výše uvedených pět dvojic zákonů – komutativní, asociativní, distributivní, zákony identity a doplňku – obsahuje kompletní seznam axiomů množinové algebra, v tom smyslu, že každé pravdivé tvrzení v množinové algebře z nich může být odvozeno.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Algebra of sets na anglické Wikipedii.

LiteraturaEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat