Lp prostor

(přesměrováno z L2 prostor)

Lp prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

DefiniceEditovat

Nechť   je prostor s mírou a   je μ-měřitelná funkce na  . Pak pro   definujeme:

 

a dále definujeme:

 

Pro   pak konečně definujeme   prostor takto:

 

Zobrazení   není přísně vzato normou, protože funkce, která je nulová pouze skoro všude, se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulový vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho  , jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků   zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou „normou“ jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

VlastnostiEditovat

Teoreticky je možné uvažovat i   prostory pro  , lze ale ukázat, že   pak není norma. Naopak, pro   je   prostor Banachovým prostorem, pro   dokonce Hilbertovým prostorem.

Důležité příkladyEditovat

  • Prostory   pro množinu   s Lebesgueovou mírou.
  • Prostory  , definované jakožto  -prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky   jsou tedy jisté posloupnosti čísel.