Heavisideova funkce
Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).
Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.
Definice
editovatHeavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:
- ,
kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí ).
Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).
Hodnota v nule
editovatParametr z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny je nulová.
Nastavíme-li , můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):
Pro případ, kdy nebo můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: respektive kde značí charakteristickou funkci množiny .
Vlastnosti
editovatMezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako
Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.
Odkazy
editovatSouvisející články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu Heavisideova funkce na Wikimedia Commons
- (anglicky) MathWorld, Heaviside Step Function: http://mathworld.wolfram.com/…
- (anglicky) PlanetMath, Heaviside step function: http://planetmath.org/… Archivováno 2. 2. 2009 na Wayback Machine.
- (anglicky) MathWorks, Heaviside: http://www.mathworks.com/…