Jacobiho matice a determinant

derivace vektorové funkce
(přesměrováno z Jacobiho determinant)

Jacobiho matice je matice parciálních derivací vektorové funkce. Pokud je tato matice čtvercová, nazýváme její determinant Jacobiho determinant (také jacobián). Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho.

DefiniceEditovat

Nechť   , Jacobiho maticí   nazveme matici   následujícího tvaru:

 .

Pokud  , je Jacobiho matice čtvercová a její determinant se nazývá Jacobiho determinant funkce   .

VlastnostiEditovat

Pokud je funkce   v bodě   diferencovatelná, pak Jacobiho matice definuje lineární zobrazení  , které je nejlepší lineární aproximací funkce   v blízkosti bodu  . Toto lineární zobrazení je zobecnění derivace a nazývá se derivace nebo diferenciál funkce   v bodě  .

Jacobiho matice je zobecnění gradientu (a pro   je rovna gradientu). Jacobiho matice vlastně vyjadřuje míru změny v daném místě.

Důležité informace o chování funkce nese také Jacobiho determinant. Konkrétně, funkce   má v okolí bodu   diferencovatelnou inverzní funkci právě tehdy, pokud je Jacobiho determinant v bodě   nenulový. S tímto také souvisí dosud nedokázaná Jacobiho domněnka.

AplikaceEditovat

Jacobiho matice se používá k lineárním aproximacím. Její vlastní vektory také určují chování určitých dynamických systémů.

Jacobián je užitečný při substituci ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

PříkladyEditovat

Příklad 1Editovat

Mějme funkci   určenou vztahem

 .

Potom platí

 

a

 .

Jacobiho matice je tedy

 

a Jacobiho determinant se rovná

 

Příklad 2Editovat

Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:

 

 , kde   a  .

Platí tedy:

         .

LiteraturaEditovat

Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Jacobian matrix and determinant na anglické Wikipedii.