Lineární aproximace

Lineární aproximace je metoda lokálního nahrazení funkčního předpisu funkce jeho přibližným vyjádřením pomocí lineární funkce. Účelem je snížení výpočetní náročnosti. Protože se jedná o aproximaci, je toto zjednodušení na úkor přesnosti. Používá se při numerických výpočtech i při analytickém řešení úloh.

Lineární aproximace funkce. Modrá funkce je funkce, se kterou chceme pracovat, ale je komplikovaná. Červená je její lineární aproximace v nule. Je jednodušší, ale je blízko k modré funkci jenom v okolí počátku.

Například kmity matematického kyvadla jsou popsány diferenciální rovnicí , jejíž řešení nelze vyjádřit v analytickém tvaru. Při použití lineární aproximace pro malé výchylky se rovnice redukuje na , jejíž řešení je možno napsat pomocí goniometrických funkcí a je tak možné pracovat s analytickým tvarem řešení, toto řešení je však platné pouze pro malé výchylky.

Vzorce pro lineární aproximaciEditovat

Aby bylo možné následující aproximace použít, musí být funkce dostatečně hladká v bodě, v jehož okolí je aproximována. Matematicky medota vychází z Taylorova polynomu, který je možné použít i pro odhad chyby aproximace.

  • Funkce   jedné proměnné má v bodě   lineární aproximaci
     
    kde   je derivace funkce   vypočtená v bodě  
  • Funkce   dvou proměnných má v bodě   lineární aproximaci
     
    kde   a   jsou parciální derivace funkce   vypočtené v bodě   Toto je možné zapsat pomocí gradientu   a skalárního součinu ve dvoučlenném tvaru

 
  • Vektorová funkce   dvou proměnných má v bodě   lineární aproximaci
     
    kde   je Jacobiho matice funkce   vypočtená v bodě   a součin Jacobiho matice s sloupcovým vektorem na pravé straně chápeme jako maticový součin.

Analogicky je možno napsat aproximaci funkce libovolného počtu proměnných.

Nejběžnější lineární aproximaceEditovat

Všechny následující aproximace platí v okolí nuly a jsou přímými důsledky vzorce pro lineární aproximaci funkce jedné proměnné.

 

Využití lineární aproximaceEditovat

  • Lineární aproximace umožňuje redukovat přesný (ale komplikovaný a nelineární) relativistický vzorec pro kinetickou energii na jednoduchou kvadratickou závislost kinetické energie na rychlosti podle Newtonovské fyziky. V tomto případě používáme lineární aproximaci pro Lorentzův faktor. Ten má s využitím přibližného vzorce   pro   aproximaci
     
    Graficky je tato aproximace zachycena v úvodním obrázku pro Lorentzův faktor snížený o jedničku, což dává při použití přímo člen vyjařující kinetickou energii.
  • Pokud je funkční hodnota v bodě aproximace nulová, redukuje se lineární aproximace na přímou úměrnost. Proto jsou konstitutivní zákony vyjadřovány pomocí přímé úměrnosti. V případě konstitutivního zákona mezi dvěma vektorovými veličinami je úměrnost vyjádřena Jacobiho maticí, tj. tenzorem druhého řádu. V tomto kontextu se matice z lineární aproximace často nazývá difuzní matice.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Externí odkazyEditovat