Otevřít hlavní menu

Ideál (teorie uspořádání)

DefiniceEditovat

Máme-li množinu   uspořádanou relací  , pak o její podmnožině   řekneme, že je ideál vzhledem k  , pokud je   nahoru usměrněná dolní množina v   .

Podrobněji:

  • aby byla   dolní, musí s každým svým prvkem obsahovat i všechny menší prvky:  
  • aby byla   nahoru usměrněná, musí s každými dvěma prvky obsahovat nějaký prvek větší než oba:  

PříkladyEditovat

  • Prázdná množina   je ideál.
  • Pokud má množina   největší prvek, pak je sama sobě ideálem - určitě je sama v sobě dolní a díky existenci největšího prvku navíc i nahoru usměrněná.

Prázdná množina a celá podkladová množina   nejsou příliš zajímavé ideály, a jsou proto z uvažování o ideálech obvykle vylučovány. Je zaváděn pojem vlastní ideál jako každý ideál kromě prázdné množiny a celé množiny a mluví-li se o ideálech, rozumí se tím pouze vlastní ideály.

  • V množině   všech reálných čísel uspořádaných běžným způsobem podle velikosti je každý zdola neomezený interval (ať již shora otevřený nebo shora uzavřený) ideálem.
  • Obecněji: pokud je   lineární uspořádání, pak je každá dolní množina ideál.

Pro lineární uspořádání se tedy ideály redukují na dolní množiny. Zajímavější je situace pro uspořádání, která nejsou lineární, viz následující oddíl Ideály na potenční množině.

Dualita filtru a ideáluEditovat

Duálním pojmem k pojmu ideál je v teorii uspořádání filtr. Veškeré úvahy a poznatky o ideálech lze (v duální podobě) aplikovat na filtry a naopak. Dalo by se říci, že článek o filtrech je duální k tomuto článku.

Ideály na potenční množiněEditovat

Jako potenční algebra je obvykle označována potenční množina   všech podmnožin množiny   s operacemi sjednocení, průniku a doplňku a s uspořádáním relací „být podmnožinou 

Co musí splňovat množinový systém   , aby byl vlastním ideálem?

  • S každým svým prvkem musí   obsahovat i všechny podmnožiny tohoto prvku.
  • Pro každé dva své prvky musí   obsahovat i jejich sjednocení.
  • Nesmí to být ani prázdná množina, ani celá množina  .

Příklad první - hlavní ideálEditovat

Uvažujme pro množinu   systém všech jejích podmnožin v  :
 

Jedná se o ideál (to se dá ověřit jednoduchým použitím definice), který se nazývá hlavní ideál určený množinou  

Pokud je množina   doplňkem nějakého prvku  , neboli  , pak pro každé   platí buď  , nebo  , ale nikdy ne zároveň - jedná se tedy o prvoideál, obvykle označovaný jako triviální prvoideál.

Příklad druhý - konečné množiny přirozených číselEditovat

Příkladem ideálu v potenční algebře na množině přirozených čísel   je množina všech konečných podmnožin  .

Tato množina obsahuje s každými dvěma prvky i jejich sjednocení (sjednocení dvou konečných množin je konečné) a s každým prvkem i jeho podmnožiny (podmnožiny konečné množiny jsou konečné), jedná se tedy o ideál. Přitom to ale není hlavní ideál - určující množina by totiž musela být sjednocením všech konečných podmnožin  , což však není konečná množina (dokonce je to přímo  , takže by se jednalo o triviální ideál). Nejedná se také o prvoideál, který musí vždy obsahovat buď množinu, nebo její doplněk - budeme-li uvažovat o množině všech sudých čísel, pak ani tato množina, ani její doplněk (množina lichých čísel) nejsou konečné a nepatří tedy do našeho ideálu.

Související článkyEditovat