Otevřít hlavní menu
Hookův zákon – Deformace je přímo úměrná napětí materiálu.
Robert Hooke

Hookův zákon (též Hookeův zákon) popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly, za předpokladu malých sil a malých deformací, které po odlehčení zmizí. Lze jej formulovat např. ve tvaru:

Deformace je přímo úměrná napětí materiálu.

Hookův zákon v tomto tvaru bývá také označován jako elementární Hookův zákon.

Hookův zákon platí pouze pro dokonale pružná (elastické) přetvoření, která navíc mají lineární závislost mezi napětím a deformací. Jelikož u reálných materiálů vždy dojde k překročení meze kluzu, případně meze porušení, je možno uvažovat s Hookovým zákonem pouze do tzv. meze úměrnosti. Za mezí kluzu je nutné uvažovat s teorií plasticity, pro viskózní materiály platí Hookův zákon pouze pro krátkodobá zatížení.

Hookův zákon je pojmenován po britském fyzikovi Robertu Hookovi, který tento zákon poprvé zapsal jako latinský anagram Ceiiinosssttuv. Roku 1676 ho formuloval latinsky jako:

Ut tensio, sic vis.

Tah a tlakEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro tah.

Hookeův zákon pro tah a tlak lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

 ,

kde   je poměrné délkové prodloužení (přičemž   označuje délku vzorku),   je modul pružnosti v tahu (Youngův modul),   je mechanické napětí.

Lze se také setkat se zápisem   , kde   je působící síla,   konstanta pružnosti materiálu a   prodloužení materiálu.

SmykEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro smyk.

Hookův zákon pro smyk lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

 ,

kde   je úhel smyku,   je tečné napětí a   je modul pružnosti ve smyku.

 

Hookův zákon při obecné napjatostiEditovat

Hookův zákon při obecné (tříosé) napjatosti trojrozměrného tělesa má následný tvar:

 
 
 
 
 
 

Přetvoření   jsou závislá na normálových napětích  , Youngovu modulu pružnosti   a Poissonově čísle   (někdy také označovaném  ). Jednotlivé indexy se střídají na principu cyklické záměny. Smyková přetvoření (zkosení)   jsou závislá pouze na příslušném smykovém napětí ( ) a modulu pružnosti ve smyku  .

Obecný tvar Hookova zákonaEditovat

Lineární vztah mezi napětím a deformací, známý z elementárního Hookova zákona pro tah nebo smyk, lze (s použitím Einsteinova sumačního pravidla) zobecnit na lineární vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem deformací

 ,

kde   jsou složky tenzoru napětí,   jsou složky tenzoru malých deformací a koeficienty   vystihují vlastnosti látky (bývají označovány jako elastické koeficienty). Uvedený vztah představuje obecný tvar Hookova zákona.

Koeficienty   jsou složkami tenzoru čtvrtého řádu. Počet nezávislých složek tenzoru   se v důsledku symetrie tenzorů   a   snižuje na 21. Takový počet elastických koeficientů je nutný pro popis chování krystalů trojklonné soustavy, tedy soustavy s nejmenší symetrií. Pro popis krystalových soustav s vyšší symetrií postačuje menší počet elastických koeficientů.

Zobecněný Hookův zákonEditovat

K popisu izotropního tělesa postačují dva nezávislé elastické koeficienty. Pro teoretické výpočty jsou voleny tzv. Laméovy (elastické) koeficienty   a  , pro praktické účely jsou spíše užívány Youngův modul (modul pružnosti v tahu)   a modul pružnosti ve smyku  . Modul pružnosti ve smyku   je totožný s Laméovým koeficientem  . Pomocí Laméových koeficientů získá obecné vyjádření Hookeova zákona pro izotropní těleso tvar

 ,

kde   je stopa tenzoru malých deformací a   je Kroneckerovo delta. Tato rovnice, která je platná pro izotropní látku, se označuje jako zobecněný Hookův zákon.

Jsou-li elastické vlastnosti látky popsány moduly   a  , lze zobecněný Hookův zákon vyjádřit jako

 

Označíme-li stopu tenzoru napětí jako  , pak platí

 

Po dosazení do předchozích vztahů získáme vyjádření závislosti   na  , tzn.

 

popř.

 

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat