Struktura pro jazyk L (také model jazyka L ), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly
c
α
;
α
∈
I
K
{\displaystyle c_{\alpha };\alpha \in I_{K}}
funkční symboly
f
α
{\displaystyle \,f_{\alpha }}
n
α
;
α
∈
I
F
{\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{F}}
predikátové symboly
p
α
{\displaystyle \,p_{\alpha }}
n
α
;
α
∈
I
P
{\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{P}}
A
{\displaystyle A}
nosič struktury spolu s konstantami
C
α
∈
A
;
α
∈
I
K
{\displaystyle C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}}
funkcemi
F
α
:
A
n
α
→
A
;
α
∈
I
F
{\displaystyle F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}}
relacemi
P
α
⊆
A
n
α
;
α
∈
I
P
{\displaystyle P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}}
C
α
{\displaystyle \,C_{\alpha }}
F
α
{\displaystyle \,F_{\alpha }}
P
α
{\displaystyle \,P_{\alpha }}
c
α
{\displaystyle \,c_{\alpha }}
f
α
{\displaystyle \,f_{\alpha }}
p
α
{\displaystyle \,p_{\alpha }}
A
{\displaystyle A}
c
α
A
{\displaystyle \,c_{\alpha }^{A}}
f
α
A
{\displaystyle \,f_{\alpha }^{A}}
p
α
A
{\displaystyle \,p_{\alpha }^{A}}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu
A
{\displaystyle A}
L jejich realizace.
V tomto odstavci značí
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
funkce
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle A}
e
{\displaystyle e}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
e
(
x
/
a
)
{\displaystyle e(x/a)}
Realizace termu
t
{\displaystyle t}
L při ohodnocení proměnných
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle A}
t
A
⟨
e
⟩
{\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle }
indukcí dle složitosti takto:
t
A
⟨
e
⟩
=
e
(
x
)
{\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle =e(x)}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
t
A
⟨
e
⟩
=
c
α
A
{\displaystyle \,t^{A}\langle e\rangle =c_{\alpha }^{A}}
t
{\displaystyle t}
konstantní symbol
c
α
{\displaystyle \,c_{\alpha }}
t
A
⟨
e
⟩
=
f
α
A
(
t
0
A
⟨
e
⟩
,
…
,
t
n
α
−
1
A
⟨
e
⟩
)
{\displaystyle t^{A}\langle e\rangle =f_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )}
t
=
f
α
(
t
0
,
…
,
t
n
α
−
1
)
{\displaystyle t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}
t
0
,
…
,
t
n
α
−
1
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}}
Platnost formule
φ
{\displaystyle \,\varphi }
jazyka L při ohodnocení proměnných
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
indukcí dle složitosti takto (
φ
{\displaystyle \,\varphi }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
e
{\displaystyle e}
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
φ
{\displaystyle \,\varphi }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
e
{\displaystyle e}
A
⊭
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \varphi \langle e\rangle }
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
atomická formule tvaru
p
α
(
t
0
,
…
,
t
n
α
−
1
)
{\displaystyle p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
(
t
0
A
⟨
e
⟩
,
…
,
t
n
α
−
1
A
⟨
e
⟩
)
∈
p
α
A
{\displaystyle (t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )\in p_{\alpha }^{A}}
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
t
0
=
t
1
{\displaystyle \,t_{0}=t_{1}}
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
t
0
A
⟨
e
⟩
=
t
1
A
⟨
e
⟩
{\displaystyle t_{0}^{A}\langle e\rangle =t_{1}^{A}\langle e\rangle }
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
formule tvaru
¬
ψ
{\displaystyle \neg \psi }
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
A
⊭
ψ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \psi \langle e\rangle }
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
formule tvaru
ψ
⇒
χ
{\displaystyle \psi \Rightarrow \chi }
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
A
⊭
ψ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \psi \langle e\rangle }
A
⊨
χ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \chi \langle e\rangle }
Je-li
φ
{\displaystyle \,\varphi }
formule tvaru
(
∀
x
)
ψ
{\displaystyle (\forall x)\psi }
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
A
⊨
ψ
⟨
e
(
x
/
a
)
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \psi \langle e(x/a)\rangle }
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
Říkáme, že
φ
{\displaystyle \,\varphi }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
⊨
φ
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }
A
⊨
φ
⟨
e
⟩
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle }
e
{\displaystyle e}
Je-li T teorie v jazyce L a
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
T , značíme
A
⊨
T
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models T}
A
⊨
φ
{\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }
axiom
φ
{\displaystyle \,\varphi }
T .
Izomorfismem modelů (struktur)
A
,
B
{\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}}
jazyka L je taková bijekce
i
:
A
→
B
{\displaystyle i:A\rightarrow B}
L , tj. splňuje:
i
(
c
A
)
=
c
B
{\displaystyle \,i(c^{A})=c^{B}}
c jazyka L
i
(
f
A
(
a
1
,
…
,
a
n
)
)
=
f
B
(
i
(
a
1
)
,
…
,
i
(
a
n
)
)
{\displaystyle i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))}
f jazyka L četnosti n .
p
A
(
a
1
,
…
,
a
n
)
⇔
p
B
(
i
(
a
1
)
,
…
,
i
(
a
n
)
)
{\displaystyle p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))}
Existuje-li izomorfismus modelů
A
,
B
{\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}}
