Peanova existenční věta

Peanova existenční věta, Peanova věta nebo Cauchyho-Peanova věta je stěžejní matematická věta, která při řešení obyčejných diferenciálních rovnic zaručuje existenci řešení určitých počátečních úloh. Je pojmenovaná po Giuseppe Peanovi a Augustinu Louisovi Cauchym.

Historie

Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.

Věta

Nechť D je otevřená podmnožina R × R,

$f\colon D\to \mathbb {R}$

je spojitá funkce a

$y'(x)=f\left(x,y(x)\right)$

je spojitá explicitní obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu definovaná na D.

Pak každá počáteční úloha

$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$

pro f s $(x_{0},y_{0})\in D$ má lokální řešení

$z\colon I\to \mathbb {R}$

kde $I$ je okolí bodu $x_{0}$ v $\mathbb {R}$, takové, že $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ pro všechna $x\in I$.

Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (x₀,y₀) může vést k mnoha různým řešením z.

Příbuzné věty

Peanovu věta můžeme porovnávat s jinou existenční větou ve stejném kontextu, s větou Picardovou–Lindelöfovou. Picardova–Lindelöfova věta má silnější předpoklády, ale i silnější tvrzení; vyžaduje Lipschitzovskou spojitost, zatímco Peanova věta vyžaduje pouze obyčejnou spojitost. Picardova–Lindelöfova věta ale zaručuje jak existenci tak jednoznačnost řešení, zatímco Peanova věta zaručuje pouze existenci řešení. Pro ilustraci uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici

$y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}$ na intervalu $<0,1>.$

Podle Peanovy věty má tato rovnice řešení, ale Picardovu-Lindelöfovu větu nelze použít, protože pravá strana rovnice není Lipschitzovsky spojitá v žádném okolí obsahujícím 0. Z toho můžeme vyvodit existenci řešení, ale ne jeho jednoznačnost. Ukazuje se, že tato obyčejná diferenciální rovnice má pro počáteční podmínku $y(0)=0$ dva typy řešení: buď $y(x)=0$ nebo $y(x)=x^{2}/4$. Přechod mezi $y=0$ a $y=(x-C)^{2}/4$ může nastat v libovolném C.

Carathéodoryho existenční věta je zobecněním Peanovy existenční věty se slabší podmínkou než je spojitost.

Reference

• V tomto článku byl použit překlad textu z článku Peano existence theorem na anglické Wikipedii.
• G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445.[1]
• G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
• W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
• CODDINGTON, Earl.; LEVINSON, Norman. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955. 
• TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2012. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954

Související články

• Absolutně spojitá funkce
• Obyčejná diferenciální rovnice
• Cauchyho úloha
• Spojitá funkce
• Měřitelná funkce
• Carathéodoryho existenční věta
• Picardova–Lindelöfova věta

Portály: Matematika