Carathéodoryho existenční věta

Carathéodoryho existenční věta nebo Carathéodoryho podmínka existence je matematická věta, která říká, že obyčejná diferenciální rovnice má za relativně mírných podmínek řešení. Věta je zobecněním Peanovy existenční věty. Zatímco Peanova věta vyžaduje, aby pravá strana diferenciální rovnice byla spojitá, Carathéodoryho věta zaručuje existenci řešení (v obecnějším smyslu) i pro některé nespojité funkce. Věta je pojmenovaná po Constantinu Carathéodorym.

ÚvodEditovat

Uvažujme diferenciální rovnici

 

s počáteční podmínkou

 

kde funkce ƒ je definovaná na obdélníku

 

Peanova existenční věta tvrdí, že jestliže ƒ je spojitá, pak diferenciální rovnice má v okolí počáteční podmínky alespoň jedno řešení[1].

Je však možné uvažovat i diferenciální rovnice s nespojitou pravou stranou, jako je rovnice

 

kde H je Heavisideova funkce definovaná vztahem

 

Pak dává smysl považovat náběhovou funkci

 

za řešení této diferenciální rovnice. I když, přesně řečeno, tato funkce nevyhovuje diferenciální rovnici v bodě  , protože náběhová funkce tam není derivovatelná. Nabízí se možnost rozšířit podmínky, aby dovolovaly i řešení, která nejsou všude derivovatelná, což vede k definici:

Funkce y se nazývá řešením diferenciální rovnice   s počáteční podmínkou   v rozšířeném smyslu, jestliže

Z absolutní spojitosti y vyplývá, že má derivaci skoro všude[3].

Tvrzení větyEditovat

Uvažujme diferenciální rovnici

 

s funkcí   definovanou na obdélníku  . Jestliže funkce   vyhovuje následujícím třem podmínkám:

  •   je spojitá v   pro každé pevné  ,
  •   je měřitelná v   pro každé pevné  ,
  • existuje funkce   Lebesgueovsky integrovatelná na   taková, že   pro všechna  ,

pak diferenciální rovnice má řešení v rozšířeném smyslu v okolí počáteční podmínky[4].

PoznámkyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Carathéodory's existence theorem na anglické Wikipedii.

  • CODDINGTON, Earl; LEVINSON, Norman. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955. .
  • RUDIN, Walter. Real and complex analysis. 3. vyd. New York: McGraw-Hill, 1987. ISBN 978-0-07-054234-1. .

Související článkyEditovat