Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice editovat

Funkci   označíme jako absolutně spojitou na intervalu  , jestliže k libovolnému   existuje takové  , že pro každý systém intervalů  , pro který je  , a   platí  .

Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu   značíme  

Příklady editovat

Ekvivalentní definice editovat

  je absolutně spojitá na   právě tehdy, když

  •   je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
  •   taková, že  
  •   taková, že  

Vlastnosti editovat

  • Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
  • Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
  • Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
  • Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí:  
  • pokud   a  , pak   je absolutně spojitá na  

Související články editovat