Otevřít hlavní menu

Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ lze říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

DefiniceEditovat

Nechť   a   jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud   tak, že   platí  

Pokud X a Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud   tak, že   platí  

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota   závisí pouze na velikosti  , a nikoli na bodu x.

Definice využívající posloupnostiEditovat

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rn,  . Funkce ƒ : A → Rm,   je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností xn a yn splňujících:

 

platí:

 

PříkladyEditovat

  • Funkce x   je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
  • Exponenciální funkce x   ex je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
  • Nechť   je metrický prostor. Pak   je stejnoměrně spojitá funkce.

VlastnostiEditovat

  • Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
  • Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
  • Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
  • Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
  • Pokud je reálná funkce   spojitá na intervalu   a existuje vlastní  , pak je funkce stejnoměrně spojitá na  .
  • Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.