Ordinální aritmetika

Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin – tím se zabývá kardinální aritmetika.

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.

Ordinální čísla a jejich vlastnostiEditovat

Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.

Definice ordinálního součtu a součinuEditovat

Jsou-li   a   dvě ordinální čísla, pak:

  • jako   označíme ordinální číslo, které je typem množiny   v lexikografickém uspořádání
  • jako   označíme ordinální číslo, které je typem množiny   v lexikografickém uspořádání.

Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací   izomorfní s touto množinou – jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

Příklady součtu dvou ordinálních číselEditovat

Součet 3 + 2:
 
 
 
 
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet   (jako   se značí množina všech přirozených čísel)
 
 
 
 
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je  , takže  . Tady už je to s tou povědomostí horší – když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat  . Dojde k překvapivému zjištění:
 

Příklady součinu dvou ordinálních číselEditovat

Součin 3.2:
 
 
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin  
:  
 
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je  .

Obrátím-li poslední příklad na  , dostávám množinu
 ,
jejímž typem již není  , ale větší ordinální číslo  

Rozhodně opět  .

Vlastnosti ordinálního součtu a součinuEditovat

Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší – součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:
 
Opačně to ale neplatí, protože například:   – viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály   existují   takové, že
 

Definice ordinální mocninyEditovat

Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:

  1.  
  2.  
  3. pro limitní ordinál   je   – sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací  

Vlastnosti ordinální mocninyEditovat

Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

  •  
  •   pro  
  •  
  •  
  •  

A především:

  •  
  •  

Mocninný rozvoj ordinálního číslaEditovat

Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ   – opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li   množina přirozených čísel a   libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla   a ordinály   takové, že platí:
 

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla   v Cantorově normálním tvaru platí  , přičemž rovnost nastává právě tehdy, když  . Takových   existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá  . Pro   tedy je  , což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.

Související článkyEditovat