Model (logika)

(přesměrováno z Model (matematika))

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

DefiniceEditovat

Model jazykaEditovat

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly  , funkční symboly   četností   a predikátové symboly   četností  , je množina   nazývaná nosič struktury spolu s konstantami  , funkcemi   a relacemi  . Konstanta  , resp. funkce  , resp. relace   se nazývá realizací konstantního symbolu  , resp. funkčního symbolu  , resp. predikátového symbolu   v modelu   a značí se  , resp.  , resp.  . Struktura s nosičem   (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí  .

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu   (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

Tarského definice pravdyEditovat

V tomto odstavci značí   model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu   je každá funkce   z množiny všech proměnných do nosiče  . Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením   na všech proměnných kromě   a na   má hodnotu  , značíme  .

Realizace termuEditovat

Realizace termu   jazyka L při ohodnocení proměnných   v modelu  , značíme  , se definuje indukcí dle složitosti takto:

  •  , je-li   proměnná  
  •  , je-li   konstantní symbol  
  •  , je-li   a   jsou termy

Platnost formuleEditovat

Platnost formule   jazyka L při ohodnocení proměnných   v modelu   definujeme indukcí dle složitosti takto (  platí v   při ohodnocení   značíme  ,   neplatí v   při ohodnocení   značíme  ):

  • Je-li   atomická formule tvaru  , pak  , pokud  .
  • Je-li   atomická formule tvaru  , pak  , pokud  .
  • Je-li   formule tvaru  , pak   pokud  
  • Je-li   formule tvaru  , pak   pokud buďto   nebo  .
  • Je-li   formule tvaru  , pak  , pokud   pro všechna  .

Říkáme, že   platí v modelu  , značíme  , pokud   pro každé ohodnocení proměnných  .

Model teorieEditovat

Je-li T teorie v jazyce L a   struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že   je modelem T, značíme  , pokud   pro každý axiom   teorie T.

PříkladyEditovat

Izomorfismus modelůEditovat

Izomorfismem modelů (struktur)   téhož jazyka L je taková bijekce  , která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

  •   pro každý konstantní symbol c jazyka L
  •   pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
  •  

Existuje-li izomorfismus modelů  , říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související článkyEditovat