Hlavní kružnice

kružnice, ležící v průsečíku koule a roviny, která prochází středem této koule

Hlavní kružnice neboli ortodroma je průnik kulové plochy (sféry) a roviny, která prochází jejím geometrickým středem. Hlavní kružnice je největší kružnice, kterou lze na dané dané kouli vybrat. Průměr každé hlavní kružnice je stejný jako průměr koule a proto mají všechny hlavní kružnice stejný střed a obvod. Hlavní kružnice je speciálním případem sférické kružnice a je opakem malé kružnice, což je průnik kulové plochy s rovinou neprocházející jejím středem. Každá kružnice v eukleidovském prostoru je hlavní kružnicí právě jedné koule.

Hlavní kružnice dělí kouli na dvě shodné polokoule

Pro většinu dvojic různých bodů na povrchu koule existuje jednoznačná hlavní kružnice procházející oběma body. Výjimkou je libovolná dvojice opačných bodů, kterými prochází nekonečně mnoho hlavních kružnic. Kratší oblouk hlavní kružnice mezi dvěma body je nejkratší povrchovou cestou mezi nimi. V tomto smyslu je kratší oblouk obdobou „přímky“ v Eukleidovské geometrii. Délka kratšího oblouku hlavní kružnice je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body na povrchu koule v Riemannově geometrii, kde se takové hlavní kružnice nazývají Riemannovské kružnice. Tyto hlavní kružnice jsou geodéziemi koule.

Ve vyšších rozměrech je hlavní kružnice na n-rozměrné sféře průnikem této sféry s libovolnou (2D) rovinou, která prochází počátkem eukleidovského prostoru Rn + 1.

Odvození nejkratší cestyEditovat

Související informace naleznete také v článku Ortodroma.

Pro důkaz, že kratší oblouk hlavní kružnice je nejkratší cestou propojující dva body na povrchu koule, můžeme použít variační počet.

Uvažujme třídu všech regulárních cest z bodu   do jiného bodu  . Zavedeme kulové souřadnice tak, aby   byl severním pólem. Jakoukoli křivku na kouli, která neprotíná žádný pól (kromě koncových bodů), lze parametrizovat vztahem

 

za předpokladu, že umožníme, aby   nabývalo libovolné reálné hodnoty. Délka infinitezimálního oblouku v těchto souřadnicích je

 

Takže délka křivky   z   do   je funkcionálem křivky splňujícím vztah

 

Podle Eulerovy–Lagrangeovy rovnice je   minimální právě tehdy když

 ,

kde   je konstanta nezávislá na   a

 

Z první z těchto rovnic lze odvodit, že

 .

Integrováním obou stran i uvažováním okrajových podmínek dostaneme reálné řešení  . Tedy   a   může být jakákoli hodnota mezi 0 a  , což ukazuje, že křivka musí ležet na poledníku. V kartézských souřadnicích to je

 

což je rovina procházející počátkem, tj. středem koule.

AplikaceEditovat

Příklady hlavních kružnic na nebeské sféře jsou obzorník, nebeský rovník a ekliptika. Hlavní kružnice se také používají jako přesné aproximace geodézií na zemském povrchu pro leteckou nebo námořní navigaci (i když Země není dokonalá koule), i na kulových nebeských tělesech.

Rovník idealizované Země je hlavní kružnice a jakýkoli poledník s opačným poledníkem tvoří také hlavní kružnici. Existuje mnoho dalších hlavních kružnic, například ta, které dělí Zemi na polokouli země a polokouli vody. Každá hlavní kružnice rozděluje Zemi na dvě polokoule, a pokud hlavní kružnice prochází nějakým bodem, musí procházet také bodem k němu opačným.

Funkova transformace provádí integraci dané funkce podél všech hlavních kružnic koule.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Great circle na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat