Loxodroma

Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.

Příklad loxodromy na povrchu Země

V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512–1594)[1]. Název „loxodroma“ pochází od nizozemského učence Willebrorda Snellia (1581–1626).

Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800–1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný[2].

V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.

Matematický popisEditovat

Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru  , jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. Sférické souřadnice označme   a  , přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá  .

Odvození azimutuEditovat

Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je  , zatím co ve směru západ-východ  . Azimut (úhel vůči severu)   je pak tedy dán takto:

 

Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci

 .

Přitom dle definice loxodromy je   konstantní. Integrováním od   do   získáme změnu   mezi těmito body. Přitom předpokládáme, že  .


 

Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:

 

Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:

 

 

Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut

 ,

což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.

Délka loxodromyEditovat

Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.

 

Dosadíme-li za   z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:

 

Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je

 ,

kde za azimut   dosadíme z předem odvozeného vztahu

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. KUCHAŘ, K.: Základy kartografie. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha, 1953. 1. vyd. 190 s.
  2. BENEŠ, L. a kolektiv: Učebnice pilota. Svět křídel, 1995. 1. vyd. 292 s. ISBN 80-85280-30-2

Externí odkazyEditovat