Eulerova–Lagrangeova rovnice

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrémály funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a ve fyzice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Popis problému optimalizaceEditovat

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

F\left(x,y(x),y'(x)\right)

.

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

J=\int _{a}^{b}F(x,y(x),y'(x))\,\mathrm {d} x

,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice:

{\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}=0

.

Jedná se o obyčejnou (obecně nelineární) diferenciální rovnici 2. řádu. V dynamice má proměnná x většinou význam času. Některá proměnná Lagrangeovy funkce (kromě třetí) může "chybět", tím se výpočet zjednoduší. (Zřejmé je to při absenci 2. proměnné.)

Příklad: „Nejlevnější cesta“Editovat

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

J=\int _{0}^{1}\left[y'(x)^{2}+12xy(x)\right]\,\mathrm {d} x

y(0)=0

y(1)=1

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů $[x;y(x)]$ ) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce $F(x,y,y')=y'^{2}+12xy$ představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.