Úměrnost

konstantní poměr mezi dvěma veličinami
(přesměrováno z Přímá úměrnost)
Na tento článek jsou přesměrována hesla Přímá úměrnost a Nepřímá úměrnost.

Úměrností je v matematice závislost, která zachovává konstantní poměr (přímá úměrnost) nebo součin (nepřímá úměrnost) dvou veličin. V běžném životě i ve fyzikálních zákonech se jedná o nejběžnější funkční závislosti.

Přímá a nepřímá úměrnost

Přímá úměrnostEditovat

 
Graf přímé úměrnosti pro různé hodnoty koeficientu přímé úměrnosti.

Přímá úměrnost je taková závislost jedné veličiny na druhé, kdy změna hodnoty jedné veličiny násobkem vyvolá změnu i hodnoty druhé veličiny stejným násobkem. Obecně lze takovou závislost popsat vzorcem

 
kde konstanta   je reálné číslo různé od nuly a nazývá se koeficient přímé úměrnosti či konstanta úměrnosti. Pro   se jedná o rostoucí přímou úměrnost, pro   se jedná o klesající přímou úměrnost.

Příklady přímé úměrnostiEditovat

  • Platba za nákup jablek je veličina, která je přímo úměrná množství těchto jablek. Kolikrát více jablek obsahuje nákup, tolikrát více se za nákup zaplatí. Například zakoupení dvojnásobného množství jablek vyžaduje zaplatit dvakrát více peněz. Konstantou úměrnosti je zde cena za jednotkové množství jablek.
  • Vzorec  pro obsah   kruhu o poloměru   je možno vyjádřit slovně tak, že obsah je (přímo) úměrný druhé mocnině poloměru. Konstantou úměrnosti je hodnota  , kterou je v tomto kontextu možno interpretovat jako obsah kruho o jednotkovém poloměru.
  • Vzorec   pro objem   kužele o výšce   a poloměru podstavy   je možno vyjádřit slovně tak, že objem je (přímo) úměrný výšce kužele a druhé mocnině poloměru podstavy. Konstantou úměrnosti je hodnota  , kterou je v tomto kontextu možno interpretovat jako objem kužele o jednotkové výšce a s podstavou o jednotkovém poloměru.

PoznámkyEditovat

  • Grafem přímé úměrnosti je přímka procházející bodem [0;0]. Konstanta úměrnosti je směrnicí této přímky. Pokud je konstanta úměrnosti kladná, je přímka rostoucí, je-li záporná, je přímka klesající.
  • Někdy se slovo "přímá" vynechává a jsou-li dvě veličiny považovány za úměrné, znamená to, že mezi nimi platí přímá úměrnost.
  • Jsou-li dvě veličiny ve vztahu přímé úměrnosti, je jejich podíl konstantní a roven konstantě této přímé úměrnosti.

Nepřímá úměrnostEditovat

 
Graf nepřímé úměrnosti pro různé hodnoty koeficientu nepřímé úměrnosti a pro kladné hodnoty nezávislé proměnné.

Neřímá úměrnost je taková závislost jedné veličiny na druhé, kdy změna hodnoty jedné veličiny násobkem vyvolá změnu i hodnoty druhé veličiny převrácenou hodnotou tohoto násobku. Obecně lze takovou závislost popsat vzorcem

 
kde konstanta   je reálné číslo různé od nuly a nazývá se koeficient nepřímé úměrnosti či konstanta nepřímé neúměrnosti. Definiční obor této funkce je množina všech nenulových reálných čísel.

Příklady nepřímé úměrnostiEditovat

  • Čas potřebný k překonání dané pevné vzdálenosti rovnoměrným pohybem je nepřímo úměrný rychlosti. Kolikrát větší rychlostí pohyb probíhá, tolikrát kratší je doba pro překonání zadané vzdálenosti.
  • Čas potřebný k dokončení určitého úkolu je nepřímo úmerný počtu osob či strojů, které daný úkol zpracovávají (za předpokladu, že pracují nezávisle a se stejným výkonem). Kolikrát více pracovníků úkol plní, tolikrát kratší dobu trvá splnění úkolu.

PoznámkyEditovat

  • Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola. Osy   a   jsou asymptoty grafu této funkce.
  • Funkce   je na intervalech   a   klesající je-li   a naopak rostoucí je-li  .
  • Jsou-li dvě veličiny ve vztahu nepřímé úměrnosti, je jejich součin konstantní a roven konstantě této nepřímé úměrnosti.

Úměrnosti mezi kladnými veličinamiEditovat

V praxi často pracujeme s kladnými veličinami. Potom přímá úměrnost je mezi veličinami, mezi kterými platí vztah „Kolikrát se zvětší  , tolikrát se zvětší  .“ Naopak nepřímá úměrnost je mezi veličinami, mezi kterými platí vztah „Kolikrát se zvětší  , tolikrát se zmenší  .“

Přímá a nepřímá úměrnost v přírodních zákonechEditovat

Naprostá většina fyzikálních zákonů je ve formě přímé nebo nepřímé úměrnosti mezi veličinami nebo mezi jejich mocnimani. To vyplývá z rozměrové analýzy a Buckinghamova π teorému. Některé přímé úměrnosti jsou důsledkem lineární aproximace obecných vztahů. Sem patří například většina konstitučních zákonů, kdy přímá úměrnost mezi veličinami platí pouze za určitých podmínek nebo do dosažení určitých mezních hodnot.

  • Gravitační síla s jakou se přitahují dva hmotné body je podle Newtonova gravitačního zákona přímo úměrná hmotnostem obou bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Konstanta úměrnosti udává sílu mezi hmotnými body o jednotkové hmotnosti vzdálenými od sebe o jednotku délky. Nazývá se gravitační konstanta.
  • Podle druhého Newtonova pohybového zákona je zrychlení tělesa vystaveného působící síle přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Konstanta úměrnosti závisí na volbě jednotek, v jednotkách SI je takto konstanta rovna jedné.
  • Přímou úměrnost je možno rozšířit i na vztah mezi vektorovými veličinami. Potom je možno uvažovat konstantu úměrnosti jako skalární veličinu, nebo jako tenzor druhého řádu. Tímto pohledem jsou ve formě přímé úměrnosti všechny konstituční zákony vyjadřující, jak materiál reaguje na vnější podnět při vedení tepla, proudění podzemní vody, difuzi, atd.
  • Přímou úměrnost je možno rozšířit i na vztah mezi tenzory druhého řádu. Konstantou úměrnosti poté může být buď skalární hodnota nebo tenzor čtvrtého řádu. Takto je formulován například obecný tvar Hookova zákona.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat