Otevřít hlavní menu

Lagrangeova funkce

(přesměrováno z Lagrangián)

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

DefiniceEditovat

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

 

kde   jsou zobecněné souřadnice,   jsou zobecněné rychlosti,   je celková kinetická energie,   je potenciální energie a   je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce  , tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru  . Pak:

 [pozn. 1]


Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

VlastnostiEditovat

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí   pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

 ,

kde   je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánuEditovat

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

 

Jednoduché příkladyEditovat

  • Lagrangián částice s rychlostí   v konzervativním poli s potenciální energií  
 
 
  • Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s  ):
 

PoznámkyEditovat

  1. Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)

LiteraturaEditovat

  • BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272. 
  • LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24-26. 

Související článkyEditovat