Cyklické číslo (teorie grup)
Cyklické číslo[1] je přirozené číslo n takové, že n a φ(n) jsou nesoudělná čísla (φ je Eulerova funkce). Ekvivalentní definice je, že číslo n je cyklické právě tehdy, když jakákoli grupa řádu n je cyklická.[2]
Jakékoli prvočíslo je zřejmě cyklické. Všechna cyklická čísla jsou bezčtvercová čísla.[3] Nechť n = p1 p2 … pk, kde pi jsou navzájem různá prvočísla, pak φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1)...(pk – 1). Pokud žádné pi nedělí žádné (pj – 1), pak n a φ(n) nemají společný (prvočíselný) dělitel a n je cyklické číslo.
První cyklická čísla jsou 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, 145, 149, … Posloupnost A003277 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
Odkazy
editovatReference
editovatV tomto článku byl použit překlad textu z článku Cyclic number (group theory) na anglické Wikipedii.
- ↑ Carmichael Multiples of Odd Cyclic Numbers [online]. [cit. 2021-03-10]. Dostupné online.
- ↑ Szele 1947.
- ↑ Pokud druhá mocnina nějakého prvočísla p2 dělí n, pak je ze vzorce pro φ zjevné, že p je společným dělitelem čísel n a φ(n).
Literatura
editovat- SZELE, Tibor, 1947. Über die endlichen Ordnungszahlen zu denen nur eine Gruppe gehört. Commentarii Mathematici Helvetici. Roč. 20. Dostupné online [cit. 2021-03-11]. DOI 10.1007/BF02568132.