Centrální limitní věta

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce. Věta však není platná například pro Cauchyho rozdělení. Zobecněně je limitním stabilní rozdělení.

Moivreova-Laplaceova větaEditovat

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem   nezávislých náhodných veličin   s alternativním rozdělením (s parametrem  ) vytvoříme veličinu  , která má binomické rozdělení s parametry   a  , pak pro normovanou náhodnou veličinu

 

platí vztah

 

pro  , kde   je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení  .

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

Lévyho-Lindebergova větaEditovat

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina   součtem   vzájemně nezávislých náhodných veličin   se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou   a konečným rozptylem  , pak pro normovanou náhodnou veličinu

 

platí opět vztah

 

pro  , kde   je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení  . Veličina   má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

  skoro jistě.

Ljapunovova větaEditovat

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin   konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny   nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina   je součtem vzájemně nezávislých veličin  , které mají konečné střední hodnoty   a konečné třetí centrální momenty  . Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

 .
Pak pro normovanou náhodnou veličinu
 

platí vztah

 

pro  , kde   je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení  .

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat