Otevřít hlavní menu

Cauchyho rozdělení

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je spojité pravděpodobnostní rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce, Lorentzova křivka nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

CharakteristikaEditovat

Hustota pravděpodobnostiEditovat

 
Cauchyho rozdělení. Na obrázku je parametr   označen   a λ jako γ

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro   a  , je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

 

kde a je parametr polohy a λ parametr variability rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a=0 a λ=1, se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

 

VlastnostiEditovat

  • modus i medián C. rozdělení se rovnají a.
  • Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl.
  • Pokud X1, …, Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se standardním Cauchyovým rozdělením, pak jejich aritmetický průměr (X1 + … + Xn)/n má opět standardní Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkceEditovat

Nechť X značí náhodnou veličinu s Cauchyho rozdělením s parametry a, λ. Jeho Charakteristická funkce je pak rovna:

 .

Související rozděleníEditovat

  • Pokud má náhodná veličina U standardní rovnoměrné rozdělení, má n. v.   standardní Cauchyho rozdělení.
  • Standardní Cauchyho rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

Relativistické Breit-Wignerovo rozděleníEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy distribution na anglické Wikipedii.

Externí odkazyEditovat

anglicky