Studentovo rozdělení

Studentovo rozdělení (t rozdělení) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.

Etymologie

Studentovo rozdělení vymyslel anglický statistik William Sealy Gosset publikující pod pseudonymem Student.

Rozdělení pravděpodobnosti

Studentovo rozdělení o $n$ stupních volnosti, které označujeme $t(n)$, je rozdělení náhodné veličiny $X={\frac {U}{\sqrt {\frac {V}{n}}}}$, kde $U$ a $V$ jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž $U$ má rozdělení $\operatorname {N} (0,1)$ a $V$ má rozdělení $\chi ^{2}(n)$.

Rozdělení $t(n)$ má pro $-\infty <x<\infty$ a $n=1,2,3,...$ hustotu pravděpodobnosti

$f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {\pi n}}}}{\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)}^{-{\frac {n+1}{2}}}$

kde $\Gamma$ je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro reálná čísla).

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení $t(n)$ je

$\operatorname {E} (X)=0$

pro $n>1$.

Rozdělení $t(n)$ má rozptyl

$\sigma ^{2}(X)={\frac {n}{n-2}}$

pro $n>2$.

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

počet stupňů volnosti N	q0,95	q0,975	q0,99	q0,995
1	6,31	12,71	31,82	63,66
2	2,92	4,30	6,97	9,93
3	2,35	3,18	4,54	5,84
4	2,13	2,78	3,75	4,60
5	2,02	2,57	3,37	4,03
10	1,81	2,23	2,76	3,17
15	1,75	2,13	2,60	2,95
20	1,73	2,09	2,53	2,85
30	1,70	2,04	2,46	2,75
50	1,68	2,01	2,40	2,68
Limita pro N rostoucí nade všechny meze	1,65	1,96	2,33	2,58

Poznámka: protože T rozdělení je symetrické, pro kvantily platí, že $q_{p}=-q_{(1-p)}$

Poznámka: uvedené kvantily odpovídají kritickým hodnotám pro některé hladiny významnosti (používané například v T testu), a to
95% kvantil - 10% hladina významnosti
97,5% kvantil - 5% hladina významnosti
99% kvantil - 2% hladina významnosti
99,5% kvantil - 1% hladina významnosti

Vlastnosti

Pro hodnoty $n>30$ je rozdělení $t$ velmi blízké normovanému normálnímu rozdělení.

Související články

• Normální rozdělení
• Rozdělení pravděpodobnosti