Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence je v matematice kritérium pro určování, zda nekonečná řada funkcí konverguje stejnoměrně a absolutně. Používá se na řady, jejichž členy jsou funkce s reálnými nebo komplexními hodnotami, a je analogií srovnávacího kritéria pro určování konvergence řad reálných nebo komplexních čísel.

Tvrzení

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence. Předpokládejme, že {f_n} je posloupnost reálných nebo komplexních funkcí definovaných na množině A a že existuje posloupnost kladných čísel {M_n} taková, že

$\forall n\geq 1,\forall x\in A:\ |f_{n}(x)|\leq M_{n},$

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty$

Pak řada

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

konverguje absolutně a stejnoměrně na A.

Poznámka: Výsledek se často používá v kombinaci s limitní větou pro stejnoměrnou konvergenci. Společně říkají, že pokud kromě výše uvedených podmínek je množina A topologickým prostorem a funkce f_n jsou spojité na A, pak řada konverguje ke spojité funkci.

Zobecnění

Obecnější verze Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence platí, jestliže cílová množina funkcí {f_n} je jakýkoli Banachův prostor, v tomto případě výraz

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

může být nahrazen výrazem

$\|f_{n}(x)\|\leq M_{n}$,

kde $\|\cdot \|$ je norma na Banachově prostoru. Pro příklad použití tohoto kritéria na Banachův prostor viz článek Fréchetova derivace.

Důkaz

Uvažujme posloupnost funkcí

$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

Protože řada $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ konverguje a M_n ≥ 0 pro každé n, pak podle Cauchyova kritéria konvergence

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .$

Pro zvolené N platí

$\forall x\in A:\forall n>m>N$

$\left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .$

Tedy posloupnost částečných součtů řady konverguje stejnoměrně. Z definice proto řada $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ konverguje stejnoměrně.

Pozn: Nerovnost (1) vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Weierstrass M-test na anglické Wikipedii.

Související články

• Stejnoměrná konvergence
• Příklad Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence
• Karl Weierstrass

Literatura

• RUDIN, Walter. Functional Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, leden 1991. Dostupné online. ISBN 0-07-054236-8. 
• RUDIN, Walter. Real and Complex Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, květen 1986. Dostupné online. ISBN 0-07-054234-1. 
• RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. [s.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976. Dostupné online. 
• WHITTAKER; WATSON. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1927. S. 49.