Otevřít hlavní menu

Rozptyl (též střední kvadratická odchylka, střední kvadratická fluktuace, variance nebo také disperze) se používá v teorii pravděpodobnosti a statistice. Je to druhý centrální moment náhodné veličiny.[1] Jedná se o charakteristiku variability rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která vyjadřuje variabilitu rozdělení souboru náhodných hodnot kolem její střední hodnoty.

Rozptyl náhodné veličiny se označuje , , nebo .

Obsah

DefiniceEditovat

Rozptyl je definován jako střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty. Odchylku od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako náhodná veličina, zachycuje směrodatná odchylka  .

Pro diskrétní náhodnou veličinu je definován následujícím vztahem

 ,

kde   jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina   nabývat (s pravděpodobnostmi  ) a   je střední hodnota veličiny  .

Je-li pravděpodobnost všech diskrétních hodnot stejná, pak se předchozí vztah zjednoduší na

 

kde n je počet prvků souboru.

Pro spojitou náhodnou veličinu je rozptyl definován vztahem

 ,

kde   je hustota pravděpodobnosti veličiny  .

VlastnostiEditovat

Pro rozptyl součinu náhodné veličiny   a konstanty   platí

 

Rozptyl náhodné veličiny je invariantní vůči posunu  , tedy

 

Rozptyl součtu i rozdílu náhodných veličin   je roven

 
 ,

kde   značí kovarianci veličin   a  .

Pokud jsou náhodné veličiny nezávislé, jejich kovariance je nulová, a tedy rozptyl součtu (rozdílu) je roven součtu rozptylů jednotlivých náhodných veličin.

Obdobná tvrzení platí také pro rozptyl součtu většího počtu náhodných veličin.

Pro výpočet rozptylu se často používá následující vztah

 

Příklad u kostkyEditovat

Mějme kostku a náhodnou veličinu  , která přiřadí každému z šesti možných jevů takové číslo, kolik puntíků je v daném jevu na horní straně kostky (čísla 1 až 6). Máme 6 jevů s pravděpodobností   a střední hodnota (průměr) je 3,5. Kvadrát rozptylu veličiny   lze pak podle vztahů výše vypočítat jako

 

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. OTIPKA, Petr; ŠMAJSTRLA, Vladislav. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA [online]. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, rev. 2013-11-14 [cit. 2016-05-31]. Kapitola Náhodná veličina. Dostupné online.