Prüferův obor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie okruhů. Jedná se o obory, které sdílejí vlastnosti s Dedekindovými obory, přestože nemusí být noetherovské. Tvrzení o ideálech a modulech známá v případě Dedekindových oborů pro ně ovšem platí jen v případě konečně generovaných modulů. Prüferovy okruhy nesou své jméno po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi.

Definice

editovat

Prüferův okruh je takový komutativní okruh bez dělitelů nuly, v kterém je každý konečně generovaný ideál invertibilní vzhledem k násobení ideálů.

Existuje ovšem velké množství ekvivalentních definic. Například kterákoliv z následujících vlastností je v případě oboru integrity   ekvivalentní tomu, že se jedná o Prüferův obor:

  • Každý nenulový konečně generovaný ideál   oboru   je invertibilní, to jest  , kde   a   je podílové těleso.
  • Každý nenulový ideál generovaný dvěma prvky je invertibilní.
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály   z   platí  .
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály   z   platí  .
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály   z   platí  .
  • Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály   z   platí, že pokud  , pak   nebo  .

Vlastnosti

editovat
  • Pokud   je Prüferův obor a   je jeho podílové těleso, pak je Prüferův i každý okruh   splňující  .

Příklady

editovat

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prüfer domain na anglické Wikipedii.