Morerova věta

Morerova věta (Giacinto Morera) je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.

Přesné zněníEditovat

Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník   je  , kde   je hranice trojúhelníku  .

DůkazEditovat

Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.

Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě  . Volme okolo   kruh  . Definujme na K funkci F vztahem

 , kde   je parametrizace úsečky  

F díky předpokladu   splňuje   na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v  .

DůsledkyEditovat

Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce

 

V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce

 

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

Externí odkazyEditovat