Kvazigrupa

(přesměrováno z Lupa (matematika))

Kvazigrupa je v matematice taková algebraická struktura s jednou binární operací, která je grupoidem a ve které je navíc možné jednoznačně dělit. Na rozdíl od grupy nemusí být operace asociativní a nemusí existovat neutrální prvek. Kvazigrupa s neutrálním prvkem se nazývá lupa.

Asociativita   Neutrální prvek    Inverzní prvek    Komutativita
Abelova grupa AnoAno AnoAno AnoAno AnoAno
Grupa AnoAno AnoAno AnoAno NeNe
Monoid AnoAno AnoAno NeNe NeNe
Pologrupa AnoAno NeNe NeNe NeNe
Lupa NeNe AnoAno AnoAno NeNe
Kvazigrupa NeNe NeNe AnoAno NeNe
Grupoid NeNe NeNe NeNe NeNe
Struktury s jednou binární operací
Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).

Tabulky konečných kvazigrup odpovídají latinským čtvercům.

Formální definiceEditovat

Kvazigrupa (Q,*) je taková množina Q s binární operací *, že pro každé a a b z Q existují jednoznačně určená x a y z Q, že platí:

  • a*x = b ;
  • y*a = b .

Jinými slovy: Pro dva prvky a a b, můžeme hodnotu b najít v řádku a a sloupci a tabulky skládání prvků kvazigrupy Q pro operaci *, tzv. Cayleyovy tabulky kvazigrupy.

Jedinečná řešení těchto dvou rovnic jsou x = a\b y = b/a. Operace \ a / se nazývají levé a pravé dělení.

LupaEditovat

Lupa je kvazigrupa, která obsahuje neutrální prvek (identitu). Je-li n neutrálním prvkem kvazigrupy Q, platí:

x * n = x = n * x, pro každé x z Q.

Z toho plyne, že neutrální prvek n je pro každý prvek z Q stejný, a že každý prvek z Q má jedinečný neutrální inverzní prvek zprava a zleva.

Lupa Moufangové splňuje identitu Moufangové:

(x * y) * (z * x) = x * ((y * z) * x).

PříkladyEditovat

  • Každá grupa je lupa, protože platí: a * x = b, právě a pouze tehdy, když x = a−1 * b, a y * a = b právě a pouze tehdy, když y = b * a−1.
  • Celá čísla Z s operací odčítání tvoří kvazigrupu.
  • Nenulová racionální nebo reálná čísla s operací dělení tvoří kvazigrupu.
  • Každá grupa je zároveň kvazigrupa.
  • Jakýkoli vektorový prostor nad tělesem s charakteristikou různou od čísla 2 tvoří idempotentní komutativní kvazigrupu s operací x * y = (x + y) / 2.
  • Nenulové oktoniony spolu s násobením tvoří neasociativní lupu. Oktoniony jsou speciálním případem lupy, které se říká lupa Moufangové.

VlastnostiEditovat

Kvazigrupy mají vlastnost krácení: Jestliže ab=ac, pak b=c. To vyplývá z jedinečnosti levého dělení ab nebo ac prvkem a. Obdobně ba=ca, pak b=c.


Zobrazení násobení

Definici kvazigrupy Q můžeme upravit na zobrazení levého a pravého násobení L(x), R(x): QQ, která jsou definována:

L(x)y=xy, R(x)y=yx

Definice říká, že obě zobrazení jsou bijekcemi množiny Q do sebesama.

Grupoid Q je kvazigrupou právě tehdy, když tato všechna zobrazení, pro každé xQ, jsou bijektivní.

Inverzní zobrazení pravého a levého dělení jsou potom zapsána:

L(x)−1y=x\y, R(x)−1y=y\x

V tomto zápisu jsou neutrální prvky mezi operacemi násobení a dělení kvazigrupy, kde 1 označuje neutrální prvek zobrazování na Q:

L(x)L(x)−1=1

L(x)−1L(x)=1

R(x)R(x)−1=1

R(x)−1R(x)=1


Latinské čtverce

Je-li Q konečná řádu n, potom Caleyho (multiplikativní) tabulka Q tvoří latinský čtverec n×n tj. čtverec vyplněný čísly z množiny {1,…,n} tak, že v každém řádku a sloupci se žádná dvě čísla neopakují.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quasigroup na anglické Wikipedii.