Cayleyho tabulka

Cayleyho tabulka je tabulka výsledků binární operace nad konečnou množinou. Ukazuje názorně strukturu dané množiny, používá se tak pro určování, o jakou algebraickou strukturu se jedná. Je pojmenována po britském matematikovi Arthurovi Cayleym.

Asociativita   Neutrální prvek    Inverzní prvek
Grupa AnoAno AnoAno AnoAno
Monoid AnoAno AnoAno NeNe
Pologrupa AnoAno NeNe NeNe
Lupa NeNe AnoAno AnoAno
Kvazigrupa NeNe NeNe AnoAno
Grupoid NeNe NeNe NeNe
Struktury s jednou binární operací
Cayleyho tabulka pro dihedrální grupu řádu 8

Cayleyho tabulka pro grupu a násobení je vždy latinským čtvercem.[1]

VlastnostiEditovat

uzavřenost
Obsahuje-li tabulka pouze prvky z  , množina je uzavřená na dané operaci. Jedná se tedy (minimálně) o konečný grupoid.
asociativita
Vzhledem k tomu, že tabulka ukazuje výsledky pouze pro dva prvky z   a ne pro více, jak by bylo pro dokázání rovnosti   potřeba, nelze z ní samotné přímo určit, zda je daná operace asociativní či ne. Cayleyho tabulka je však základem pro tzv. Lightův test asociativity, který již asociativitu určit dokáže.
neutrální prvek
Má-li nějaký prvek svůj řádek shodný s prvním řádkem tabulky a svůj sloupec shodný s prvním sloupcem tabulky, je neutrálním prvkem.
inverzní prvek
Vzájemně inverzní prvky   a   mají v místech průsečíků (řádku   se sloupcem   a sloupce   s řádkem  ) uveden neutrální prvek.
komutativita
Je-li tabulka osově souměrná podle hlavní diagonály, je daná operace komutativní.

PříkladEditovat

Příklad pro grupoid  , kde množina  , a   je operace násobení.

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cayley table na anglické Wikipedii.

  1. POLÁŠEK, Martin. Latinské a magické čtverce. Brno, 2011 [cit. 2013-10-03]. 64 s. Diplomová práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Eduard Fuchs. s. 24. Dostupné online.

Externí odkazyEditovat