Cantorova–Heineova věta

(přesměrováno z Heine-Cantorova věta)
Možná hledáte: Cantorova věta nebo Heineho věta.

V matematice Cantorova–Heineova věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi, říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Důkaz editovat

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

  takové, že   pro každé x, y z M

je:

  takové, že   tak, že   a  .

kde d a   jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti xn a yn takové, že

  a  .

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti (  konvergující k x0 a   k y0), takové, že

 

ale protože f je spojitá a   a   konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heine-Cantor theorem na anglické Wikipedii.

Související články editovat