Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující:
Pro libovolnou množinu potenční množina obsahující všechny podmnožiny množiny vyšší mohutnost než .

Význam a důsledkyEditovat

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonální metody - pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu   lze sestrojit prvek množiny  , který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech - potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny   ke každé množině, jak je tomu například v Zermelo-Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta k takzvanému Cantorovu paradoxu: Pokud je   množina všech množin, pak množina   všech jejích podmnožin má větší mohutnost než  , což je spor.

DůkazEditovat

Nechť   je libovolná množina a   množina všech podmnožin   (potenční množina). Tvrzení, že   má větší mohutnost než  , je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z   do  , které by bylo na (surjektivní). Toto ukážeme sporem:

Nechť existuje zobrazení  , které je na. Tedy pro každý prvek   (A je množina!) existuje nějaké   tak, že  .

Nyní definujme podmnožinu  

 .

  obsahuje ty prvky  , které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením  .   je zřejmě podmnožina   a tedy musí existovat   tak, že  . Mohou tedy nastat dvě možnosti:

  1.  , to je ale spor s definicí  , podle které  , ale  ,
  2.  , jenže pak z definice  plyne   a podle předpokladu   musí platit  , což je opět spor.

Existence zobrazení  , které je na, vede ke sporu a tedy   má vždy větší mohutnost než  .

Související článkyEditovat