Eisensteinovo kritérium

matematická věta o nerozložitelnosti mnohočlenu

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritériaEditovat

Celočíselné polynomyEditovat

Nechť je   mnohočlen stupně   s koeficienty z oboru celých čísel, tedy  , a nechť existuje prvočíslo   takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

  •   pro všechna  ,
  •   a
  •  ,

pak je mnohočlen   ireducibilní v oboru  , tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficientyEditovat

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je  , kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel   je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo   takové, že

  •   dělí   pro  ,
  •   nedělí   a   a
  •   nedělí  .

Pak je   nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.[3]

Zobecnění pro gaussovské oboryEditovat

Nechť je   Gaussův obor integrity a   mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu  . Pak pokud je   primitivní a existuje ireducibilní prvek   splňující

  •   pro všechna  ,
  •   a

pak je polynom   v   ireducibilní.[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálůEditovat

Nechť je   obor integrity a   mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu  . Pokud existuje v oboru   prvoideál   takový, že

  •   pro všechna  ,
  •   a
  •   (  je součin ideálu   s ním samým),

pak nelze zapsat   jako součin dvou nekonstantních polynomů v  . Je-li navíc   primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v  . Pokud je   Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je  , pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z   jsou v   jednotkami).

ReferenceEditovat

  1. VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1953. 
  2. MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava: Alfa, 1974. (slovensky) 
  3. HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online. 
  4. STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.