Otevřít hlavní menu

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

,

kde je nějaký kvantově-mechanický operátor a je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

OdvozeníEditovat

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu  . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru   platí

 
 ,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor   časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen  .

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

 

a také

 

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit  . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

 

PříkladEditovat

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

 ,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

 ,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako  , z čehož plyne  . Tedy

 

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

 .

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor   lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

 ,

kde   je hmotnost částice.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat