Weibullovo rozdělení

Weibullovo rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti. Jméno nese po švédském matematikovi Waloddim Weibullovi, který jej podrobně popsal v roce 1951, ačkoli bylo poprvé identifikováno Fréchetem (1927) a poprvé použito Rosinem a Rammlerem (1933) k popisu distribuce velikosti částic.

Standardní parametrizaceEditovat

Hustota pravděpodobnosti Weibullovy náhodné veličiny je:[1]

 

kde k > 0 je parametr tvaru a λ > 0 je měřítko distribuce. Weibullova distribuce souvisí s řadou dalších distribucí pravděpodobnosti; zejména leží mezi exponenciálním rozdělením (k = 1) a Rayleighovým rozdělením (k = 2 a  [2]).

V lékařské statistice a v ekonometrii se používá jiná parametrizace.[3][4] Parametr tvaru k je stejný jako výše a parametr měřítka je  .

Někdy se používá i třetí parametrizace, kdy je parametr tvaru k opět stejný jako výše a parametr měřítka je  .

Kumulativní distribuční funkce pro Weibullovo rozdělení je

 

pro x ≥ 0 a F ( x ; k ; λ) = 0 pro x <0.

Kvantilová funkce (inverzní kumulativní distribuční) funkce pro Weibullovo rozdělení je roztažená exponenciální funkce.

 

pro 0 ≤ p <1.

AplikaceEditovat

Weibullova distribuce se používá

  • V analýze přežívání
  • V analýze spolehlivosti a poruch
  • V elektrotechnice může reprezentovat přepětí vyskytující se v elektrickém systému
  • V průmyslovém inženýrství k popisu výrobních a dodacích lhůt
  • V teorii extrémních hodnot
  • V oblastech předpovídání počasí a větrné energetiky popisuje rozdělení rychlosti větru, protože přirozené rozdělení často odpovídá Weibullovu tvaru[5]
  • V inženýrství komunikačních systémů
    • V radarových systémech modeluje rozptyl úrovně přijímaných signálů produkovaných některými typy rušení
    • K modelování fadingu v bezdrátových komunikacích, protože se zdá, že Weibullův model vyhovuje experimentálním měřením zeslabování signálu
  • V analýze vyhledávání informací modeluje dobu setrvání uživatelů na webových stránkách.[6]
  • V oblasti pojištění bylo Weibullovo rozdělení použito k modelování velikosti pojistných nároků na zajišťovny a kumulativního vývoje ztrát z azbestózy
  • Při předpovídání technologických změn (model Sharifa-Islama)
  • V hydrologii se Weibullova distribuce aplikuje na extrémní události, jako jsou roční maximální jednodenní srážky a průtoky řek.
  • Při popisu velikosti částic generovaných mletím, mletím a drcením se používá dvouparametrická Weibullova distribuce, a v těchto aplikacích je někdy známá jako Rosinova-Rammlerova distribuce. V této souvislosti předpovídá méně jemných částic než log-normální rozdělení a je obecně nejpřesnější pro úzké distribuce velikosti částic. Interpretace kumulativní distribuční funkce je, že   je hmotnostní zlomek částic s průměrem menším než  , kde   je střední velikost částic a   je míra rozptýlenosti velikosti částic.
  • Při popisu mraků náhodných bodů (jako jsou polohy částic v ideálním plynu): pravděpodobnost nalezení nejbližšího souseda ve vzdálenosti   od dané částice je dána Weibullovou distribucí s   a   rovným hustotě částic.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Weibull distribution na anglické Wikipedii.

  1. PAPOULIS, ATHANASIOS, 1921-2002. Probability, random variables, and stochastic processes. 4th ed. vyd. Boston: McGraw-Hill x, 852 pages s. Dostupné online. ISBN 0-07-366011-6, ISBN 978-0-07-366011-0. OCLC 47283225 
  2. Rayleigh Distribution - MATLAB & Simulink - MathWorks Australia. au.mathworks.com [online]. [cit. 2020-07-14]. Dostupné online. 
  3. COLLETT, D., 1952-. Modelling survival data in medical research. Third edition. vyd. Boca Raton: [s.n.] pxvi, 532 pages s. Dostupné online. ISBN 978-1-4398-5678-9, ISBN 1-4398-5678-8. OCLC 884140102 
  4. CAMERON, ADRIAN COLIN. Microeconometrics : methods and applications. Cambridge: [s.n.] xxii, 1034 pages s. Dostupné online. ISBN 978-0-521-84805-3, ISBN 0-521-84805-9. OCLC 56599620 
  5. Wind Speed Distribution Weibull | REUK.co.uk [online]. [cit. 2020-07-14]. Dostupné online. (anglicky) 
  6. SIGIR 2010 : proceedings : 33rd Annual International ACM SIGIR Conference on Research and Development in Information Retrieval : Geneva, Switzerland, July 19-23, 2010. New York, N.Y.: Association for Computing Machinery 1 online resource (xxix, 928 pages) s. Dostupné online. ISBN 978-1-60558-896-4, ISBN 1-60558-896-2. OCLC 666667938