Konvexní funkce

Spojitá konvexní funkce na intervalu $(a,b)$ , je význačná tím, že její graf leží nad každou její sestrojenou tečnou. Jednoduchou a názornou pomůckou může být představa grafu konvexní funkce na $(a,b)$ jako šálku, do kterého lze nalít kávu. Opačný případ tvoří konkávní funkce. Samotná definice je analyticky odvozena z vlastností funkčních hodnot konvexní funkce vzhledem ke spojnici krajních bodů intervalu konvexnosti. Lze říci, že funkční hodnoty konvexní funkce jsou na intervalu konvexnosti vždy pod spojnicí zmíněných krajních bodů.

Graf funkce konvexní na intervalu konvexnosti leží pod spojnicí krajních bodů tohoto intervalu

Definice editovat

Konkávní část funkce je vyznačena modře. Graf na tomto intervalu leží pod tečnou. Zbylá červená křivka označuje konvexní část a její graf leží nad tečnou

Definici konvexnosti funkce lze rozdělit na definici konvexnosti funkce a speciálního případu - ryzí konvexnosti funkce. Většinu elementárních funkcí lze však považovat za ryze konkávní respektive ryze konvexní. Příkladem mohou být polynomy.

Definice ryze konvexní funkce editovat

Nechť f je funkce spojitá na intervalu $(a,b)$ . Pak říkáme, že funkce f je na intervalu $(a,b)$ ryze konvexní právě tehdy, když pro libovolné číslo $\lambda \in (0,1)$ s vlastností

\forall x,y\in (a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)

Definice konvexní funkce editovat

Nechť f je funkce spojitá na intervalu $(a,b)$ . Pak říkáme, že funkce f je na intervalu $(a,b)$ konvexní právě tehdy, když pro libovolné číslo $\lambda \in (0,1)$ s vlastností

\forall x,y\in (a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)

Intervaly konvexnosti editovat

Při hledání intervalů, na kterých je funkce konvexní se postupuje pomocí druhé derivace funkce. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce dělí inflexní body. V těchto bodech funkce mění zakřivení. Funkce je proto ryze konvexní na intervalu, kde $f''(x)>0$ . Analogicky se odvodí pravidlo pro interval konvexní funkce $f''(x)\geq 0$ . Daná derivace musí existovat. To, že funkce je diferencovatelná nevyplývá přímo z podmínky spojitosti zkoumané funkce, proto je třeba přidat podmínku diferencovatelnosti.