Protiřetězec

Protiřetězec (někdy také označovaný jako antiřetězec) je matematický termín z oboru algebry a teorie uspořádání, který se používá pro označení množin vzájemně neporovnatelných prvků.

DefiniceEditovat

Předpokládejme, že množina   je uspořádána relací  . O podmnožině   řekneme, že se jedná o protiřetězec, pokud jsou každé dva různé prvky   neporovnatelné pomocí  , tj.
 

PříkladyEditovat

Protiřetězce v lineárním uspořádáníEditovat

V lineárně uspořádané množině nemá pojem protiřetězec příliš dobrý smysl – každé dva prvky jsou porovnatelné a neexistují jiné než (nepříliš zajímavé) jednoprvkové protiřetězce. To se týká například běžného uspořádání reálných čísel nebo přirozených čísel podle velikosti.

Protiřetězce v množině komplexních číselEditovat

Uvažujme ostré uspořádání   množiny komplexních čísel podle vzdálenosti od nuly (tj. podle absolutní hodnoty). Kdo by měl problém s pojmem komplexního čísla, může si představit geometrickou rovinu a vzdálenost bodů (uspořádaných dvojic) od počátku souřadnic (tj. od bodu [0,0]):
 

Položme si otázku, jaké největší protiřetězce zde existují. Každé dva body, které mají stejnou vzdálenost od nuly (leží na stejné kružnici se středem v nule) jsou neporovnatelné a mohou tedy spolu náležet do protiřetězce. Jakmile ale nějaké dva body leží na dvou různých kružnicích se středem v 0, mají různou absolutní hodnotu a jsou porovnatelné – nemohou být spolu v jednom protiřetězci.

Největší možné protiřetězce při tomto uspořádání komplexních čísel jsou tedy soustředné kružnice se středem v bodě 0.

Protiřetězce vzhledem k dělitelnostiEditovat

Uvažujme o množině všech kladných přirozených čísel, s uspořádáním podle dělitelnosti (tj.  , pokud   dělí  ).

Při tomto uspořádání existují v množině přirozených čísel libovolně velké (co do počtu prvků) protiřetězce. Příkladem nekonečného protiřetězce je množina všech prvočísel. Tento protiřetězec je přitom největší možný – jakékoliv kladné přirozené číslo je porovnatelné s nějakým prvočíslem, takže ho nelze k tomuto protiřetězci přidat, aniž by přestal být protiřetězcem.

Existuje zde ale i jeden největší možný protiřetězec, který je pouze jednoprvkový – je to množina  . Důvod je ten, že číslo 1 je porovnatelné s každým přirozeným číslem (dělí každé přirozené číslo).

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat