Periodická funkce

Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou goniometrické funkce (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.

Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá amplituda a převrácená hodnota periody je frekvence.

Funkce, které nejsou periodické, se nazývají aperiodické.

Definice

Přesněji můžeme říci, že funkce $f$ je periodická s periodou $P$ , jestliže

f(x+P)=f(x)

pro všechny hodnoty $x$ v definiční oblasti $f$ . Pro všechna celá čísla n také platí

f(x+nP)=f(x).

Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například

f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=...=0.5.

Perioda funkce je rovna 1 a $f(x)=f(x+1)=f(x+2)=...$ .

Nejmenší kladné číslo $P$ , které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu $\langle nP,(n+1)P\rangle$ stejný.

Obecná definice

Nechť $E$ je množina s interní operací $+$ . Potom P-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou P na $E$ je funkce $f$ na $E$ taková, že

\forall x\in E:f(x+P)=f(x)

.

Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že $+$ je komutativní, v této definici píšeme $P$ napravo.

Funkce, jejichž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít dvě nesouměřitelné periody, aniž by se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé.)

Periodické řady

Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Lze proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.

Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s periodami P, 2P, 3P atd.

Translační symetrie

Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.

Odkazy

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu periodická funkce na Wikimedia Commons