Multiplikativní množina

Multiplikativní množina (také množina uzavřená na násobení nebo podmnožina uzavřená na násobení) je pojem z komutativní algebry, podoboru abstraktní algebry. V rámci okruhu $O$ se multiplikativní podmnožinou rozumí taková podmnožina $M$ okruhu $O$, která splňuje:

• $1\in M$
• $\forall x,y\in M:xy\in M$

Tato množina je tedy jednak uzavřená na konečná násobení a jednak obsahuje i prázdný součin, tedy neutrální prvek vůči násobení. Definice lze přeformulovat pomocí pojmu monoid – jedná se o podmonoid násobení v daném okruhu.

Typickým využitím multiplikativních množin v komutativní algebře je vytváření lokalizace okruhu.

Příklady

• Množinový doplněk prvoideálu v komutativním okruhu.
• Množina všech jednotek okruhu.
• Mocniny prvku v okruhu, tedy množina $\{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}$

Vlastnosti

• Ideál $P$ okruhu $O$ je prvoideálem právě tehdy, když je $O\setminus P$ multiplikativní množinou.
• Průnikem multiplikativních množin je multiplikativní množina.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiplicatively closed set na anglické Wikipedii.