Otevřít hlavní menu

Kvantový harmonický oscilátor

Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoruEditovat

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii  , která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál   zapíšeme jako

 

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

 

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

 

Vynásobíme-li celou rovnici   , získáme

 

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

 
 

rovnice přejde ve tvar

 

Po úpravě dostaneme

 

Odhad řešení v asymptotické oblastiEditovat

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci   budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce   v asymptotické oblasti  . Pro hodnoty   lze   v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

 

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde   a   jsou libovolné konstanty.

 

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce   diverguje pro   a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

 

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnotEditovat

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty  , znamená předpokládat, že   na   závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

 

kde   je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu   dosazením předešlé rovnice pro   získáme novou rovnici pro neznámou funkci  

 

Funkci   budeme hledat ve tvaru mocninné řad

 

Neznámé koeficienty   pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro   do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami  . Po jistém úsilí získáme

  pro k = 2, 4, 6, …
  pro k = 3, 5, 7, …

Protože   je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách   a  . Ukazuje se však, že nekonečná řada   se pro velká   chová jako funkce   , což znamená, že vlnová funkce   pro   diverguje. Funkce   proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce   tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým   platí   a pro dosud libovolné   musí splňovat podmínku

  pro n=0,1,2,...

Energetické spektrumEditovat

S ohledem na předešlý vztah a rovnici   dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru[1][2]

 

Srovnání klasického a kvantového oscilátoruEditovat

  • Ze vztahu  je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
  • Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
  • Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže.
  • Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně.
  • Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
  • Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde  . Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 2005. ISBN 802001316. 
  2. Lineární harmonický oscilátor - podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice [online]. http://artemis.osu.cz [cit. 2010-12-17]. Dostupné online. 

Externí odkazyEditovat