Otevřít hlavní menu

Kinetická energie rotujícího tělesa je energie tělesa, které rotuje. Je dána součtem kinetických energií všech jeho částic.

Odvození vzorceEditovat

Ze skutečnosti, že energie rotujícího tělesa je dána součtem kinetických energií všech jeho částic (číslujeme horním indexem i), vyplývá, že celková energie tělesa bude

 

Pomůžeme si vyjádřením rychlosti, pro kterou pro těleso rotující kolem počátku platí

 

kde   je vektor úhlové rychlosti a   je polohovým vektorem i-té částice.

Dosadíme a získáme

 

Tento výraz lze zapsat i ve složkách a to takto:

 

Využijeme-li definice tenzoru momentu setrvačnosti  

 ,

lze pak energii rotujícího tělesa vyjádřit v kompaktním tvaru:

 

Protože je tenzor setrvačnosti symetrický existuje vždy taková soustava souřadnic, ve které je diagonální. Jeho složky na diagonále v této soustavě označme  ,  ,  , pak tedy platí:

 

Kde   jsou složky vektoru úhlové rychlosti v této soustavě.

Často se zajímáme pouze o rotaci vůči pevné ose, tedy ose jejíž poloha se v tělese nemění. V tomto případě definujeme skalární moment setrvačnosti   vůči této ose jako

 ,

kde   je jednotkový vektor mířící do směru osy. Tato definice se po dosazení za jednotlivé částice dá zapsat i jako

 ,

kde   je vzdálenost i-té částice od osy rotace.

Použitím definice   má pak výraz pro kinetickou energii velmi jednoduchý tvar

 .

Je tedy zřejmé, že   představuje analogii hmotnosti při rotaci kolem pevné osy.

Související článkyEditovat