Jensenova nerovnost

Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. Lze ji využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

VyjádřeníEditovat

Nechť   je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu  ,  ,  .
Potom platí:  ,
kde   a  .
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

DůkazEditovat

Konvexnost funkce   na   je ekvivalentní s výrokem:

 .

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle  .

  •  : případ je triviální,
  •  : tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
  •  :

Indukční předpoklad:  .
Dokážeme tuto nerovnost pro  , tedy:  .
Sporem lze ukázat:  . Kdyby totiž platil opak, tedy  , pak  , což je spor s předpoklady.

Protože platí:  , platí také  , kde  , a tedy:  .
Snadno lze také ukázat:  , protože  .
Pak lze zřejmě psát:  .
Označme:   a dokažme, že  . Protože  , můžeme   odhadnout shora, resp. zdola, když za  , pro všechna   dosadíme  , resp.   (zřejmě totiž platí:  , pro   analogicky).
Potom lze napsat:  .
Z uvedené definice konvexnosti plyne:  .
Podle indukčního předpokladu lze psát:  .
Důsledkem tedy je:  , což je dokazovaná nerovnost.

Související článkyEditovat