Funkce beth

číslo

Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.

Definice

editovat

Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu   následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo  :[1]

  •  , kde   je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef.
  •   pro izolovaný ordinál   (tj. mohutnost potenční množiny  ).
  •   pro limitní ordinál  .

Vztah k hypotézám kontinua

editovat
  • Hypotéza kontinua je ekvivalentní s  , tedy   je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua  .
  • Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s  , tedy   pro všechna ordinální čísla  .

Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům

editovat

Limitní kardinál   se nazývá silně limitním, jestliže   pro všechny kardinály  .

  • Kardinál   je silně limitní, právě když   pro limitní ordinál  .[2]

Platí   pro všechna ordinální čísla  . Lze ukázat, že funkce  pevné body, tj. takové ordinály  , pro než  .

  • Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti  , tedy neformálně  .
  • Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce  .

Související články

editovat

Reference

editovat
  1. Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kap. I.5, S. 55.
  2. W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.