Izolovaný ordinál

DefiniceEditovat

Izolovaný ordinál je ordinální číslo, které má předchůdce nebo je rovno prázdné množině. Formálněji:
Ordinální číslo   je izolované, pokud
 
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

PříkladyEditovat

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

  •  
  •  
  •  
  •  

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označím-li jako   množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak
  má předchůdce  
Podobně má   předchůdce  , takže se také jedná o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě  , ale existují i větší limitní ordinály – například  ,   nebo  .

PoužitíEditovat

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Související článkyEditovat