Eukleidova věta

Eukleidova věta je označení pro dvě geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníku, pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematikovi Eukleidovi.

Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách.

Eukleidova věta o výšceEditovat

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

 

Důkaz 1Editovat

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB, tvrzení vyplývá z podobnosti trojúhelníků APC a CPB:

 

Větu lze rovněž dokázat pomocí Pythagorovy věty, z ní plyne:

 
 

Rovnice sečteme:

 

upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

 

rozepíšeme a roznásobíme dvojmoc přepony, odečteme dvojmoci jejích úseků:

 
 
 

a vydělíme dvěma:

 
 
Velký trojúhelník je poskládán dvěma způsoby. Čtverec nad výškou je nahrazen obdélníkem.

Důkaz s využitím Pythagorovy věty není zdaleka jediným. Tvrzení lze elementárně dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků, v Eukleidových Základech je tato rovnosti obsahů čtverce a obdélníka dokázána v druhém díle (Kniha II, tvrzení 14). Nejjednodušší je důkaz přerovnáním shodných útvarů.

Důkaz 2Editovat

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami ca a cb. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu  je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu  . Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsněEditovat

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

 
 

Důkaz 1Editovat

Předpokládáme, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše), z Pythagorovy věty plyne:

 
 
 
 

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

 
Důkaz Eukleidovy věty o odvěsně. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsoben. Čtverec nad odvěsnou je nahrazen obdélníkem.

Podobně jako u předcházející věty je možné tvrzení dokázat pomocí podobnosti trojúhelníků, nebo přerovnáním shodných útvarů. V Eukleidových Základech je tato rovnosti obsahů čtverce a obdélníka naopak součásti důkazu Pythagovy věty (Kniha I, tvrzení 47).

Důkaz 2Editovat

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a cb. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu  je nahrazen obdélníkem o obsahu  .

Délka výškyEditovat

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

 
 

PříkladEditovat

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami   (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku  .

Platí:

 
 

Po dosazení do druhého vzorce:

 
 
 

Dopočet  :

 
 

Po dosazení do prvního vzorce:

 
 
 
 

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.