Eukleidova věta o výšce

poměr výšky a přilehlých úseků přepony pravoúhlého trojúhelníka

Jako Eukleidovy věty se označují matematické věty o délkách odvěsen a výšky pravoúhlého trojúhelníku. Jsou pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematiku Eukleidovi. Jsou to:

  • Eukleidova věta o výšce:
  • Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu a):
  • Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu b):
Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách.

Pomocí Eukleidových vět je taky možné dokázat Pythagorovu větu a naopak pomocí Pythagorovy věty lze dokázat Eukleidovy věty.

Eukleidova věta o výšceEditovat

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

 

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníkůEditovat

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB (viz označení na obrázku), z podobnosti trojúhelníků APC a CPB plyne:

 

Obě strany rovnice vynásobíme číslem   a dostaneme Eukleidovu větu:

 

Důkaz z Pythagorovy větyEditovat

Z Pythagorovy věty plyne:

 

 

Rovnice sečteme:

 

Upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

 

Dosadíme  :

 

Roznásobíme, odečteme a vydělíme dvěma:

 

 

 

Důkaz pomocí obsahůEditovat

 
Velký trojúhelník je poskládán dvěma způsoby. Čtverec nad výškou je nahrazen obdélníkem.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami ca a cb. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu  je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu  . Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsněEditovat

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

 

 

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníkůEditovat

Z podobnosti trojúhelníků ACB a CPB plyne:

 

Obě strany rovnice vynásobíme   a dostaneme Eukleidovu větu:

 

Pro důkaz Euklidovy věty pro druhou odvěsnu bychom jen zaměnili body A a B, odvěsny a a b a části přepony ca a cb.

Důkaz z Pythagorovy větyEditovat

Vycházíme z toho, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše). Z Pythagorovy věty plyne:

 

 

 

 

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

 
Důkaz Eukleidovy věty o odvěsně. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsoben. Čtverec nad odvěsnou je nahrazen obdélníkem.

Tento důkaz nelze použít, pokud máme zároveň z Eukleidovy věty dokazovat Pythagorovu větu, protože se jednalo o důkaz kruhem. V takovém případě je nutné použít jiný důkaz Eukleidovy věty.

Důkaz pomocí obsahůEditovat

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a cb. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu  je nahrazen obdélníkem o obsahu  .

Délka výškyEditovat

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

 

 

PříkladEditovat

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami   (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku  .

Platí:

 

 

Po dosazení do druhého vzorce:

 

 

 

Dopočet  :

 

 

Po dosazení do prvního vzorce:

 

 

 

 

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.

Související článkyEditovat