Doplnění na čtverec

algebraická úprava polynomů

Doplnění na čtverec je postup pro transformaci algebraických výrazů, ve kterých se vyskytují členy s proměnnou v první i druhé mocnině. Doplněním na čtverec se výraz upraví tak, že v něm vystupuje pouze kvadrát dvojčlenu obsahujícího tuto proměnnou. Zbavíme se tedy první mocniny proměnné. Přesně řečeno polynom druhého stupně v proměnné x

Animace doplnění na čtverec

převedeme do tvaru

,

kde h a k jsou vhodně zvolené konstanty závislé na koeficientech a, b, c. Metodu lze použít například k řešení kvadratických rovnic, ke stanovení extrémů kvadratických funkcí, ke zjištění kanonického tvaru kvadriky nebo při výpočtu některých integrálů.

Doplnění na čtverec vychází z platnosti binomických formulí, tedy vzorečků a . Pokud jsou po ruce první dva členy na pravé straně některé z těchto formulí, lze „přičarovat“ třetí člen tak, že k výrazu přičteme nulu v podobě . Tím chybějící do výrazu doplníme a lze použít příslušnou formuli, tedy přejít ke čtverci nebo .

PostupEditovat

Úprava kvadratické funkceEditovat

Daná kvadratická funkce:  
Vytknutí koeficientu nejvyšší mocniny:  

V závorce nyní přičteme a zároveň odečteme stejnou vhodně zvolenou konstantu, čímž se hodnota závorky nezmění. Konstantu volíme tak, aby první tři sčítance tvořily čtverec nějakého dvojčlenu podle binomické formule. Jinými slovy chceme získat tvar   Tento krok dal metodě jméno - doplňujeme nový člen, abychom získali čtverec, tedy druhou mocninu nějakého výrazu.

Doplnění na čtverec:  
První tři členy v závorce zapíšeme jako čtverec dvoujčlenu:  
Umocnění a roznásobení číslem a:  
Poslední úpravy a hotovo:  
Z finálního tvaru lze snadno odečíst souřadnice vrcholu této paraboly:  

  je první souřadnice vrcholu - jde o záporně vzatý druhý sčítanec v umocněném dvojčlenu. Pokud totiž x nabývá této hodnoty, oba členy v první závorce se vyruší a dvojčlen je nulový, a tedy jeho druhá mocnina je nejmenší možná. Pro hodnotu   čili druhou souřadnici vrcholu paraboly   pak platí  , což je přímo druhá závorka čili konstantní člen upraveného výrazu,

PříkladEditovat

Daná kvadratická funkce:  
Vytkneme dvojku:  

Protože  , přičteme „maskovanou nulu“  :

Doplnění na čtverec:  
Zapíšeme jako mocninu dvojčlenu:  
Roznásobíme:  
Upravíme:  
Souřadnice vrcholu:  

Řešení kvadratické rovniceEditovat

Doplnění na čtverec lze použít také k řešení kvadratické rovnice. Přitom si nepotřebujeme pamatovat vzoreček pro kořeny takové rovnice, stačí umět použít trik s doplněním na čtverec. Ukažme si to na příkladu:

Zadaná kvadratická rovnice:  
Vykrácení:  

Levou stranu rovnice chceme mít ve tvaru  , abychom mohli použít vzorec pro čtverec dvojčlenu. Samozřejmě musíme   přičíst také k pravé straně rovnice:

Doplnění na čtverec:  
Zapíšeme jako mocninu dvojčlenu:  
Odmocníme (pozor, bereme i zápornou hodnotu odmocniny):  
Napíšeme si obě lineární rovnice a vyřešíme je:   nebo  
Množina řešení:  

Integrace racionálních lomených funkcíEditovat

Neurčitý integrál

 

lze ve jmenovateli upravit doplněním na čtverec

 

Vytkneme-li a substituujeme za x - 1, dostaneme se k tabulkovému integrálu, v němž opět zpětně substituujeme x:

 

V posledním transformačním kroku se použil známý integrál, který lze nalézt v tabulce primitivních funkcí:

 

Normální forma kvadrikyEditovat

Kvadriku

 , kde  

chceme upravit na afinní normální formu. Nejprve doplníme na čtverec v proměnné   (  se v tuto chvíli považuje za parametr), a potom v  . Postup je

 

Substitucí  ,   získáme rovnicí kružnice  .

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quadratische Ergänzung na německé Wikipedii.

LiteraturaEditovat